Câu 372: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng $60^0$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\) B. \(V=\sqrt 3 {a^3}\) C. \(V=\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\) D. \(V=\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2\) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\) nên ta có \(\left( {SC,\left( {ABC{\rm{D}}} \right)} \right) = SCA = {60^0}\). Ta lại có \(\frac{{SA}}{{AC}} = \tan {60^0} \Rightarrow SA = AC\tan {60^0} = \sqrt 6 a\) Thể tích khối chóp cần tính là \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 6 {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)
Câu 373: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng \(2\sqrt 2 {a^2}\). Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. A. \(V=2\sqrt 2 {a^3}\) B. \(V=2{a^3}\) C. \(V=\sqrt 2 {a^3}\) D. \(V={a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi cạnh của hình lập phương là x suy ra \(A'C' = x\sqrt 2\). Diện tích mặt chéo A’ACC’ là \(x.x\sqrt 2 = 2\sqrt 2 {a^2} \Rightarrow x = a\sqrt 2\). Thể tích hình lập phương là \(V = {x^3} = 2\sqrt 2 {a^3}\)
Câu 374: Tính thể tích V của khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. A. \(V=\frac{{{a^3}}}{2}\) B. \(V=\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(V=\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) D. \(V=\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Vậy thể tích cần tính là : \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Câu 375: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, \(AB = a\sqrt 5 ;AC = 4a,SO = 2\sqrt 2 a\). Gọi M là trung điểm SC. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối chóp M.OBC. A. \(V=2\sqrt 2 {a^3}\) B. \(V=\sqrt 2 {a^3}\) C. \(V=\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\) D. \(V=4{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(AO = \frac{{AC}}{2} = 2a;BO = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}} = a\) \(BD = 2BO = 2a\) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}SO.AC.BD = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}{a^3}\) \({S_{OBC}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\) \(d(M,\left( {OBC} \right)) = \frac{1}{2}SO\) \({V_{MOBC}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}{a^3}\)
Câu 376: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a, tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V=\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\) B. \(V=\sqrt 3 {a^3}\) C. \(V=\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\) D. \(V=\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của BC vì tam giác SBC là tam giác đều nên ta có \(SH \bot BC \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Ta lại có \(SH \bot BC,\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\), \(BC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) Tam giác ABC vuông cân tại A và có cạnh \(BC = a\) nên \(AB = AC = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\) \(\Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4}\) Vậy thể tích hình cần tính là \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
Câu 377: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150 m, cạnh đáy dài 220 m. Tính diện tích xung quanh S của kim tự tháp này. A. \(S=2200\sqrt {346} \,\left( {{m^2}} \right)\) B. \(S=4400\sqrt {346} \left( {{m^2}} \right)\) C. \(S=2420000\left( {{m^3}} \right)\) D. \(S=1100\sqrt {346} \left( {{m^2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Tính diện tích xung quanh của Kim tự tháp chính là tính diện tích của 4 mặt bên của hình chóp tứ giác đều . Gọi O là tâm của đáy của hình chóp tứ giác đều . Ta có: \(SO \bot (ABCD),\,SO = 150\) AB=BC=CD=DA=220 Gọi H là trung điểm của CD ta có: \(SH \bot CD\). \(OH = \frac{{AD}}{2} = 110\) \(SH = \sqrt {S{O^2} + O{H^2}} = 10\sqrt {346}\) \({S_{xq}} = 4{S_{SCD}} = 4.\frac{1}{2}CD.SH = 4400\sqrt {346}\)
Câu 378: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tính tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC. A. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = \frac{1}{6}\) B. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = 6\) C. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = \frac{1}{5}\) D. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = 5\) Spoiler: Xem đáp án Gọi V là thể tích khối chóp M.ABC. M là trung điểm của CC’ Theo bài ra ta có: \(\frac{{{V_{C'ABM}}}}{{{V_{C'ABC}}}} = \frac{{C'M}}{{C'C}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{C'ABM}} = \frac{1}{2}{V_{C'ABC}}\) \(\Rightarrow {V_{C'ABM}} = {V_{M.ABC}} = = \frac{1}{2}{V_{C'ABC}} = V\) \(\Rightarrow {V_{C'ABC}} = 2V\) Ta lại có \({V_{C'ABC}} = {V_{AA'B'C'}} = {V_{BA'B'C'}} = 2V\) Nên: \({V_{(H)}}= {V_{C'ABC}} + {V_{AA'B'C'}} + {V_{BA'B'C'}} - {V_{MABC}} = 5V\) Vậy \(\frac{V_{(H)}}{{{V_{M.ABC}}}} = 5\)
Câu 379: Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Tính thể tích \(V_1\) tứ diện A'ABC' theo V. A. \(V_1=\frac{V}{4}\) B. \(V_1=2V\) C. \(V_1=\frac{V}{2}\) D. \(V_1=\frac{V}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({S_{ABC}} = {S_{A'B'C'}} \Rightarrow {V_{CA'B'C'}} = {V_{C'ABC}}\) Mà ta lại có ACC'A’ là hình bình hành nên \(d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {ABC'} \right)} \right)\) \(\Rightarrow {V_{C.ABC'}} = {V_{A.ABC'}} \Rightarrow {V_{B.A'B'C'}} = {V_{C'.ABC}} = {V_{A'.ABC'}}\) \(\Rightarrow {V_{A'.ABC'}} = \frac{V}{3}\)
Câu 380: Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại nào? A. {5;3} B. {3;5} C. {4;3} D. {3;4} Spoiler: Xem đáp án Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại \(\left\{ {p,q} \right\}\) nếu: a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Câu 381: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là \(V = \frac{1}{3}B.h\). B. Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó. C. Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó. D. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là \(V = \frac{1}{3}B.h\). Spoiler: Xem đáp án A sai do \(V = B.h\)
