Câu 382: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\);\(SA = a\sqrt 3\) . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = {a^3}\sqrt 3\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Câu 383: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a,\(SD = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\) . Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a. A. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{7}\) B. \(d= \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\) C. \(d = \frac{{a\sqrt {21} }}{5}\) D. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{7}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(SH = \sqrt {S{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {S{D^2} - H{A^2} - A{D^2}} = a\sqrt 3\) Kẻ \(HM \bot BD\), gọi O là giao điểm của AC và BD ta có: \(AO = \frac{{AO}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow HM = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) \(HK//BD \Rightarrow HK//\left( {SBD} \right)\) \(\Rightarrow d\left( {HK;SD} \right) = d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right)\) Mà \(d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\) Kẻ \(HN \bot SM\) tại M. Khi đó \(d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HN\). \(\frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow HN = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\) \(\Rightarrow d\left( {HK;SD} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\)
Câu 384: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; biết \(AB = AD = 2a\), \(CD = a\). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $60^0$. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V=\frac{{3\sqrt 5 {a^3}}}{8}\) B. \(V=\frac{{3\sqrt {15} {a^3}}}{5}\) C. \(V=\frac{{3\sqrt {15} {a^3}}}{8}\) D. \(V=\frac{{3\sqrt 5 {a^3}}}{5}\) Spoiler: Xem đáp án (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) nên \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\) nên SI là đường cao của S.ABCD. Kẻ \(IK \bot BC\) tại K. Suy ra: \(\widehat {SKI} = \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = {60^0}\). Gọi \(M = AD \cap BC\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} DC//AB\\ DC = \frac{1}{2}AB \end{array} \right.\) Suy ra CD là đường trung bình của tam giác ABM. Khi đó: \(AM = 4a;\,BM = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 5 ;\,IM = 3a\) Ta có:\(\Delta KMI \ \sim \Delta AMB\) \(\Rightarrow \frac{{IM}}{{BM}} = \frac{{IK}}{{AB}} \Rightarrow IK = \frac{{3a}}{{2a\sqrt 5 }}.2a = \frac{{3a}}{{\sqrt 5 }}\) Khi đó: \(SI = IK.\tan {60^0} = \frac{{3a}}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 3 = \frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}\) \(V = \frac{1}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}.\frac{1}{2}\left( {a + 2a} \right).2a = \frac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{5}\)
Câu 385: Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (SAD) cùng vuông góc (ABCD). Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau là đường cao của hình chóp? A. SC B. SB C. SA D. SD Spoiler: Xem đáp án \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \bot (ABCD)\\ \left( {SAD} \right) \bot (ABCD) \end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\) Vậy SA là đường cao của khối chóp.
Câu 386: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a, AC=2a, SC=3a. SA vuông góc với đáy (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V=\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) B. \(V=\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) C. \(V=\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{3}\) D. \(V=\frac{{{a^3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác SAC vuông tại A nên: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5\) Khi đó \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 5 .\frac{1}{2}.a.2{\rm{a}} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{3}\)
Câu 387: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\). A. \(\frac{1}{4}\) B. \(\frac{5}{8}\) C. \(\frac{3}{8}\) D. \(\frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\) và \({V_{S.ABCD}} = {V_{S.ACD}} + {V_{S.ABC}}\). Khi đó: \(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {V_{S.MCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\) Mặt khác: \(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\) Từ trên suy ra \({V_{S.MNCD}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\)
Câu 388: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 600. TÍnh thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = {a^3}\sqrt 3\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(A'O \bot (ABC)\, \Rightarrow OA\) là hình chiếu của AA' trên (ABC) \(\Rightarrow \widehat {OAA'} = {60^o}\) Tam giác ABC đều nên \(AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Xét tam giác AOA' ta có: \(A'0=AOtan60^0=a\) Vậy: \(V = S_{ABC}.A'O =\frac{a^3\sqrt3}{4}\)
Câu 389: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = 2\sqrt 3\) B. \(V = 4\sqrt 3\) C. \(V = 8\sqrt 3\) D. \(V = 16\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên: \(AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt {3\,} {\rm{ }}\,\& \,{\rm{ }}AI \bot BC \Rightarrow A'I \bot BC\,{\rm{ }}\) \({S_{A'BC}} = \frac{1}{2}BC.A'I \Rightarrow A'I = \frac{{2{S_{A'BC}}}}{{BC}} = 4\) \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot AI\) \(\Delta A'AI \Rightarrow AA' = \sqrt {A'{I^2} - A{I^2}} = 2\) Vậy: \(V=S_{ABC} .AA'=8\sqrt3\)
Câu 390: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. A. \({V_{S.ABCD}} = {a^3}\sqrt 3\) B. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) D. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của AB. Tam giác SAB đều \(\Rightarrow SH \bot AB\) mà \((SAB) \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot (ABCD)\) Vậy H là chân đường cao của khối chóp. Ta có tam giác SAB đều nên \(SA=\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra: \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Câu 391: Hình chóp S.ABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích V của hình chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) B. \(V= \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) C. \(V= \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V= {a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {(ABC) \bot (SBC)}\\ {(ASC) \bot (SBC)} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow AC \bot (SBC)\) SBC là tam giác đều cạnh a nên \({S_{\Delta SBC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) Suy ra: \(V = \frac{1}{3}{S_{SBC}}.AC = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
