Câu 31: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = \(a\sqrt 3 \), khoảng cách giữa AB và CD bằng 8a, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng \({60^0}\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD. A. \(V = 2\sqrt 3 {a^3}\) B. \(V = 2{{\rm{a}}^3}\) C. \(V = {a^3}\) D. \(V = 3{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Dựng hình lăng trụ AEF.BCD \( \Rightarrow EC = AB = a,\,\,\left( {EC,C{\rm{D}}} \right) = \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {60^o}.\) \(8a = d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = d\left( {AB,\left( {C{\rm{D}}F{\rm{E}}} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {C{\rm{D}}F{\rm{E}}} \right)} \right) = AH\) \( \Rightarrow {V_{A.C{\rm{D}}F{\rm{E}}}} = \frac{1}{3}AH.{S_{C{\rm{D}}F{\rm{E}}}} = \frac{1}{3}.8{\rm{a}}.EC.C{\rm{D}}.\sin \left( {EC,C{\rm{D}}} \right) = 4{a^3}.\) Ta có: \({V_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}{V_{{\rm{AEF}}{\rm{.BCD}}}};\,\,{V_{ABC{\rm{D}}}} + {V_{A.C{\rm{D}}F{\rm{E}}}} = {V_{{\rm{AEF}}{\rm{.BCD}}}} \Rightarrow {V_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}{V_{A.C{\rm{D}}F{\rm{E}}}} = 2{a^3}.\)
Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD và khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SCD). A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6};\,\,h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3};\,\,h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3};\,\,h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = \frac{{2{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{3};\,\,h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}C{\rm{D}} \bot {\rm{S}}A\\C{\rm{D}} \bot A{\rm{D}}\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SDA} \right) \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^o}\) Khi đó: \(SA = A{\rm{D}}\tan {60^o} = a\sqrt 3 .\) Ta có: \(V = \frac{1}{3}{a^2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3};\,\,d = AH = AD\sin {60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 33: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng a và AA’ hợp với mặt phẳng (A’BC) một góc \({30^0}\). Tính thể tích V của lăng trụ. A. \(V = \frac{{8{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{9}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) C. \(V = \frac{{8{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Dựng \(A{\rm{E}} \bot BC;\,{\rm{AF}} \bot A'E\) khi đó \({\rm{AF}} \bot \left( {A'BC} \right).\) Ta có: \({\rm{AF}} = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = a,\,\widehat {{\rm{AA'}}F} = {30^o}.\) Suy ra: \({\rm{AA'}}\sin {30^o} = {\rm{AF}} \Rightarrow {\rm{AA'}} = 2{\rm{a}};\,\,A{\rm{E}} = {\rm{AA'}}.tan{30^o} = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 3 }}.\) Mặt khác: \(\frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = A{\rm{E}} = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow AB = \frac{{4{\rm{a}}}}{3};\,\,{S_{ABC}} = \frac{{{\rm{4}}{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 }}{9}.\) Vậy \(V = {S_{ABC}}.{\rm{AA'}} = \frac{{8{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{9}.\)
Câu 34: Cho hình chóp có thể tích bằng V, khi giảm diện tích đa giác đáy xuống 3 lần thì thể tích khối chóp lúc đó bằng bao nhiêu? A. \(\frac{V}{9}\) B. \(\frac{V}{6}\) C. \(\frac{V}{3}\) D. \(\frac{V}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(V = \frac{1}{3}h{S_d}\) do đó nếu giảm diện tích đáy 3 lần thì thể tích chóp giảm 3 lần.
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2AB = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Biết khoách cách từ S đền mặt phẳng (AMN) bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. A. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{9}\) B. \(V = 4{a^3}\) C. \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(B\left( {1;0;0} \right);D\left( {0;2;0} \right)\,\)và \(S\left( {0;0;h} \right)\) suy ra \(M\left( {\frac{1}{2};0;\frac{h}{2}} \right);N\left( {0;1;\frac{h}{2}} \right)\) Ta có:\(\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {\frac{{ - h}}{2};\frac{{ - h}}{2};\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \left( {AMN} \right):2hx + hy - 2z = 0\) Lại có \(d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2h} \right|}}{{\sqrt {5{h^2} + 4} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow h = 2\) Do đó \(V = \frac{1}{3}.1.2.1 = \frac{4}{3}.\)
Câu 36: Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Một điểm M cố định và khoảng các từ điểm M đến các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) lần lượt là a, b, c. Biết tồn tại mặt phẳng (P) qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. A. \(V = \frac{{9abc}}{2}\) B. \(V = \frac{{abc}}{6}\) C. \(V = 27abc\) D. \(V = \frac{{abc}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(M\left( {b;c;a} \right)\). Phương trình mặt phẳng (P) là: \(A\left( {x - b} \right) + B\left( {y - c} \right) + C\left( {z - a} \right) = 0\) Khi đó: \(A\left( {\frac{{Ab + Bc + Ca}}{A};0;0} \right),B\left( {0;\frac{{Ab + Bc + Ca}}{B};0} \right),C\left( {0;0;\frac{{Ab + Bc + Ca}}{C}} \right)\) Thể tích khối tứ diện OABC là: \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \left| {\frac{{{{\left( {Aa + Bc + Ca} \right)}^3}}}{{6ABC}}} \right| \ge \frac{{{{\left( {3\sqrt[3]{{ABC.abc}}} \right)}^3}}}{{6ABC}} = \frac{{27abc}}{6} = \frac{{9abc}}{2}.\)
Câu 37: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 2a. Gọi I là trung điểm của SO. Biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}.\) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = 8{a^3}\) B. \(V = \frac{{8{a^3}}}{3}\) C. \(V = 4{a^3}\) D. . \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của BC. Ta có: \(OM = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O, I trên SM. Ta có: \(IK = \frac{{a\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow OH = 2IK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\) \( \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} \Rightarrow SO = 2a\) Khi đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{8{a^3}}}{3}.\)
Câu 38: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = a\sqrt 3 .\) Biết đỉnh S cách đều các đỉnh A, B, C và góc giữa cạnh SD và mặt đáy bằng \(60^\circ .\) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) C. \(V = {a^3}\) D. \(V = {a^3}\sqrt 3 \) Spoiler: Xem đáp án Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tam giác SAB cân tại S có I là trung điểm của AB Nên \(SI \bot AB\). Mà \(IE \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SIE} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SIE} \right) \Rightarrow CD \bot SE \Rightarrow \Delta SCD\,\)cân tại S Gọi \(H = IE \cap AC \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Ta có: \(\widehat {SDH} = 60^\circ \) Ta có: \(HE = \frac{{AD}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},DE = \frac{{DC}}{2} = \frac{a}{2}\) \(HD = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a,SH = HD\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \) \({S_{ABCD}} = a.a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3 = {a^3}\)
Câu 39: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo V. A. \({V_{S.AHK}} = \frac{1}{2}V\) B. \({V_{S.AHK}} = \frac{1}{4}V\) C. \({V_{S.AHK}} = \frac{1}{{12}}V\) D. \({V_{S.AHK}} = \frac{V}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{V_{S.AHK}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SK}}{{SC}}.\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.AHK}} = \frac{V}{4}\).
Câu 40: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 2a. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) C. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = 2{a^3}\sqrt 3 \) Spoiler: Xem đáp án \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{\left( {2a} \right)^2}\sin {60^0} = {a^2}\sqrt 3 \) Thể tích khối lăng trụ là: \(V = 2a.{a^2}\sqrt 3 = 2{a^2}\sqrt 3 \).
