Câu 402: Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right);SA = a\). Diện tích tam giác ABC bằng \(3{a^2}\). Tính thể tích khối chọp S.ABC. A. \({V_{S.ABC}} = 3{a^3}\) B. \({V_{S.ABC}} = {a^3}\) C. \({V_{S.ABC}} = \sqrt 3 {a^3}\) D. \({V_{S.ABC}} = \frac{{{a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a.3{a^2} = {a^3}\).
Câu 403: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, \(AC = a\sqrt 2\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB= a\sqrt 3\) .Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V=a^3\) B. \(V=\frac{a^3}{2}\) C. \(V=\frac{a^3}{4}\) D. \(V=\frac{a^3}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AC = a\sqrt 2 ;\,SB = a\sqrt 3\). Tam giá ABC vuông cân tại B nên \(A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} \Rightarrow BA = BC = \sqrt {\frac{{A{C^2}}}{2}} = a\). Tam giá SAB vuông cân tại A nên ta có: \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a\). Thể tích khối chóp S.ABC: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{6}\).
Câu 404: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với \(AB = a,AD = 2a\); góc \(\widehat{BAD} = {60^0}\). SA vuông góc với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng đáy là \(60^0\). Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tính tỉ số \(\frac{V}{{{a^3}}}\). A. \(2\sqrt 3\) B. \(\sqrt 3\) C. \(\sqrt 7\) D. \(2\sqrt 7\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: Áp dụng định lý Côsin và công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác ta lần lượt có: \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD\cos A} = a\sqrt 3\) \(AO = \sqrt {\frac{{A{B^2} + A{D^2}}}{2} - \frac{{B{D^2}}}{4}} = a\frac{{\sqrt 7 }}{2} \to AC = a\sqrt 7\) Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SAC}\). \(\Rightarrow SA = AC.\tan \widehat {SCA} = AC.\tan {60^0} = a\sqrt {21}\) Mà \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AD\sin A = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) Do đó \({S_{ABCD}} = {a^2}\sqrt 3\) Vậy \(\frac{V}{{{a^3}}} = \frac{{\frac{1}{3}SA.{S_{ABC}}}}{{{a^3}}} = \sqrt 7\). Chọn C
Câu 405: Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. V1 là thể tích của tứ diện A'ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng? A. \(V = 6{V_1}\) B. \(V = 4{V_1}\) C. \(V = 3{V_1}\) D. \(V = 2{V_1}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có hình vẽ sau: Ta có \(V = {S_{ABCD}}.AA';{V_1} = \frac{1}{3}.{S_{ABD}}.AA'\) Mà \({S_{ABD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} \Rightarrow \frac{V}{{{V_1}}} = \frac{{2.{S_{ABD}}.AA'}}{{\frac{1}{3}{S_{ABD}}.AA'}} = 6\) \(\Rightarrow V = 6{V_1}\)
Câu 406: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy là \(SA = a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\) C. \(V = {a^3}\sqrt 2\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\sqrt 2 .a.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Câu 407: Cho hàm số S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Các mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD); Góc giữa SC và mặt (ABCD) bằng $45^0$. Thể tích của khối chóp S.ABCD. A. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) B. \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{2}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\) D. \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ SA = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) \end{array} \right. \to SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Suy ra góc giữa SC và mặt đáy là góc SCA. Theo bài ra góc đó bằng 450 nên \(\widehat {SCA} = {45^0}\) Suy ra \(SA = AC = a\sqrt 2\) Vậy \({S_{SABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Câu 408: Cho hình chóp đều S.ABCD có đánh bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với đáy một góc 60 độ. Mặt phẳng (P) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABMN. A. \(V= \frac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\) C. \(V= \frac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) D. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Do S.ABCD là hình chóp đề nên suy ra: G là trọng tâm tam giác SAC thì G cũng là trọng tam tam giác SBD. Do đó M là trung điểm của SC. N là trung điểm SD. Ta có: \({V_{S.ABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}}\). Mà: \(\frac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2}\) ;\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{4}\). Mặt khác: \({V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ABCD}}\). Suy ra: \(\begin{array}{l} {V_{S.ABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABC}} + \frac{1}{4}{V_{S.ACD}}\\ = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}} \end{array}\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} SI \bot BC\,(do\,SBC\,la\,tam\,giac\,can)\\ HI \bot BC\,(do\,HI//DC) \end{array} \right.\) Suy ra: \(\widehat {SIH}\) là góc giữa mặt bên và đáy \(SH = HI.{\mathop{\rm tanSIH}\nolimits} = a\sqrt 3 ;\,{S_{ABCD}} = 4{a^2}\) \(\to {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) \(\Rightarrow {V_{S.ABMN}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
Câu 409: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC=a; góc ACB=60. Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B) tạo với mặt (AA’C’C) một góc 30 độ. Tính thể tích khối lăng trụ theo a. A. \(V = {a^3}\sqrt 6\) B. \(V= {a^3}\frac{{\sqrt 6 }}{3}\) C. \(V = {a^3}\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\) D. \(V = {a^3}\frac{{4\sqrt 6 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên \(A'A \bot \left( {ABC} \right)\). Do: \(\left\{ \begin{array}{l} BA \bot AC\\ BA \bot AA' \end{array} \right. \Rightarrow BA \bot (AA'C'C)\). Suy ra: \(\widehat {AC'B}\) là góc giữa BC’ với mặt phẳng (AA’C’C). \(AB = \tan \widehat {ACB} = a\sqrt 3 ;C'A = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {AC'B}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = 3a\) \(CC' = \sqrt {C'{A^2} - A{C^2}} = 2a\sqrt 2\) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \to V = {a^3}\sqrt 6\)
Câu 410: Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh? A. 3 B. 5 C. 8 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Ta có hình vẽ hình bát diện đều như sau: Vậy đáp án đúng là D
Câu 411: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là \(a\sqrt 3\), cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích toàn phần của hình chóp. A. \(\frac{{3 + \sqrt 3 + \sqrt 6 }}{2}.{a^2}\) B. \(\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 }}{2}.{a^2}\) C. \(\frac{{3 + \sqrt 6 }}{2}.{a^2}\) D. \(\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 6 }}{2}.{a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(SA \bot AB,\,SA \bot AC,\,BC \bot AB,\,BC \bot SA\) Suy ra, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên: \(BC \bot SB\) Do đó, tứ diện S.ABC có 4 mặt đều là các tam giác vuông. Ta có: AB là hình chiếu của SB lên (ABC) nên \(SBA = {60^0}\) \(\tan SBA = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{SA}}{{\tan SBO}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = a\,\left( { = BC} \right)\) \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2\) \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} = 2a\) Do đó ta có: \({S_{TP}} = {S_{\Delta SAB}} + {S_{\Delta SAC}} + {S_{\Delta ABC}}\) \(= \frac{1}{2}\left( {SA.AB + SB.BC + SA.AC + AB.BC} \right)\) \(\\ = \frac{1}{2}\left( {a\sqrt 3 .a + 2a.a + a\sqrt 3 .a\sqrt 2 + a.a} \right) \\ = \frac{{3 + \sqrt 3 + \sqrt 6 }}{2}.{a^2}\) Vậy đáp án cần tìm là A.
