Câu 412: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a với \(SA = \frac{a}{2},SB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},BAD = {60^0}\) và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích tứ diện K.SDC. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{{16}}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{8}\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{{32}}\) Spoiler: Xem đáp án Từ giả thiết ta có \(AB = a,SA = \frac{a}{2},SB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Nên \(\Delta ASB\) vuông tại \(S \Rightarrow SH = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow \Delta SAH\) đều Gọi M là trung điểm của AH thì \(SM \bot AB\) Do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\) Vậy \({V_{KSDC}} = {V_{S.KCD}} = \frac{1}{3}.SM.{S_{\Delta KCD}} = \frac{1}{3}.SM.\frac{1}{2}{S_{\Delta BAD}}\) \(= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{2}.\frac{{a.a\sqrt 3 }}{{2.2}} = \frac{{{a^3}}}{{32}}\) (đvtt)
Câu 413: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tính tỉ số \(\frac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\). A. \(\frac{1}{2}\) B. \(\frac{1}{3}\) C. \(\frac{1}{4}\) D. \(\frac{1}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy 2 hình chóp S.ABCD và S.A'B'C'D'. Có chung chiều cao kẻ từ đỉnh S xuống đáy. Vậy để đi tìm tỉ số khoảng cách thì chúng ta chỉ cần tìm tỉ số diện tích 2 đáy mà ta có hình vẽ như sau: Ta thấy: \({S_{A'B'C'D'}} = A'D'.A'B' = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\) \(\Rightarrow \frac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{1}{2}\) => Đáp án A.
Câu 414: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,AD = 2a\) và \(SA = 2a\) vuông góc với đáy. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD? A. \(\frac{4}{3}{a^3}\)(đvtt) B. \(4{a^3}\)(đvtt) C. \(\frac{2}{3}{a^3}\)(đvtt) D. \(2{a^3}\)(đvtt) Spoiler: Xem đáp án \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.h = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA\) \(= \frac{1}{3}.AB.AD.SA = \frac{1}{3}.a.2a.2a = \frac{4}{3}{a^3}\)
Câu 415: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: \(SA = 2SM,SB = 3SN;\).\(SC = 4SP;SD = 5SQ\) Tính thể tích khối chóp S.MNPQ A. \(\frac{2}{5}\) B. \(\frac{4}{5}\) C. \(\frac{6}{5}\) D. \(\frac{8}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} + \frac{{{V_{SMQP}}}}{{{V_{SADC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} + \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SQ}}{{SD}}.\frac{{SP}}{{SC}}\) \(= \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{5}.\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow \frac{{{V_{SMNPQ}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} + \frac{{{V_{SMQP}}}}{{{V_{SADC}}}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{5}.\frac{1}{4}} \right)\) \(\Rightarrow {V_{SMNPQ}} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}\) Vậy đáp án cần tìm là D.
Câu 416: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(BCD = {120^0}\) và \(AA' = \frac{{7a}}{2}\). Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối chóp ABCD.A'B'C'D'. A. \(V = 12{a^3}\) B. \(V = 3{a^3}\) C. \(V = 9{a^3}\) D. \(V = 6{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(O = AC \cap BD\) Từ giả thuyết suy ra \(A'O \bot \left( {ABCD} \right)\) \({S_{ABCD}} = BC.CD.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) Vì \(\widehat {BCD} = {120^0}\) nên \(\widehat {ABC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC = a \Rightarrow A'O = \sqrt {A'{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {\frac{{49{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = 2\sqrt 3 a\) Suy ra \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 3{a^3}\)
Câu 417: Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC = 1,\,ASB = {90^0},BSC = {120^0}\),\(CSA = {90^0}\). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\) B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\) D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AS \bot SB\\ AS \bot SC \end{array} \right. \Rightarrow SA \bot mp\left( {SBC} \right)\) \(\Rightarrow {V_{S.ABC}} = {V_{A.SBC}} = \frac{1}{3}{S_{SBC}}.SA\) \({S_{SBC}} = \frac{1}{2}SB.SB.\sin {120^0} = \frac{1}{2}{.1^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) Vậy: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{\sqrt 3 }}{4}.1 = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\) Vậy đáp án đúng là B.
Câu 418: Tính thể tích khối rubic mini ( mỗi mặt của rubic có 9 ô vuông), biết chu vi mỗi ô ( ô hình vuông trên một mặt) là 4cm. A. 27 cm3. B. 1728 cm3. C. 1 cm3. D. 9 cm3. Spoiler: Xem đáp án Chu vi của một ô nhỏ là 4 cm nên độ dài mỗi cạnh nhỏ là 1cm, vậy độ dài cạnh của khối rubic là \(a = 3.1 = 3\,cm \Rightarrow V = 3.3.3 = 27\,c{m^3}\) Đáp án A.
Câu 419: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. B. Hai khối chóp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. C. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì thể tích bằng nhau. D. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. Spoiler: Xem đáp án Đáp án đúng: B
Câu 420: Cho tứ diện ABCD có \(AD \bot (ABC),AC = AD = 4;AB = 3;BC = 5\). Tính khoảng cách từ A đên mặt phẳng (BCD). A. \(\frac{6}{{\sqrt {34} }}\) B. \(\frac{4}{{\sqrt {34} }}\) C. \(\frac{12}{{\sqrt {34} }}\) D. \(\frac{5}{{\sqrt {34} }}\) Spoiler: Xem đáp án
Câu 421: Cho hình chóp S.ABC có $SA = 3a,SA \bot (ABCD),AB = BC = 2a,\widehat {ABC} = {120^0}$. Tính khoảng cách từ A đên mặt phẳng (SBC). A. \(\frac{3a}{2}\) B. \(\frac{a}{2}\) C. \(\frac{5a}{2}\) D. \({5a}\) Spoiler: Xem đáp án
