Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = 2a,AD = a\). Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABD theo a. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\) B. \(V = 2{a^3}\sqrt {15} \) C. \(V = {a^3}\sqrt {15} \) D. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({S_{ABCD}} = a.2a = 2{a^2}\) \(AC = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 ;SA = AC\tan {60^0} = a\sqrt 5 .\sqrt 3 = a\sqrt {15} \) Thể tích của khối chóp S.ABD là: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt {15} .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).
Câu 42: Cho tứ diện ABCD có thể tích là 12. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, thì thể tích của tứ diện GABC sẽ bằng: A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Gọi h và h’ lần lượt là khoảng cách từ D và G đến mặt phẳng (ABC). Ta có \(d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = 2{d_H} = 2.\left( {2{d_G}} \right) = 4{d_G}\) Nên \(\frac{{{V_{D.ABC}}}}{{{V_{G.ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{3}h.{S_{ABC}}}}{{\frac{1}{3}h'.{S_{ABC}}}} = \frac{h}{{h'}} = 4 \Rightarrow {V_{G.ABC}} = \frac{1}{4}.{V_{D.ABC}} = \frac{1}{4}.12 = 3.\)
Câu 43: Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước đôi một khác nhau là: A. 3 B. 7 C. 9 D. 5 Spoiler: Xem đáp án Với hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 3 kích thước đôi một khác nhau sẽ có ba mặt đối xứng là các mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, AD, AA’.
Câu 44: Một hình hộp chữ nhật có tổng các cạnh bằng 112 và nội tiếp trong một hình cầu có bán kính bằng 10. Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó là: A. S = 300 B. S = 400 C. S = 384 D. S = 352 Spoiler: Xem đáp án Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c. Theo giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = \frac{{112}}{4}\\\\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 28\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 400\end{array} \right.\) Vậy diện tích toàn phần \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right) = {\left( {a + b + c} \right)^2} - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 384.\)
Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích tam giác ABC, biết \(SA = 2,SB = 4,SC = 5.\) A. \(\sqrt {61} \) B. \(\sqrt {141} \) C. \(5\sqrt 3 \) D. 11 Spoiler: Xem đáp án Gọi K và H lần lượt là hình chiếu của S lên BC và AK Ta có: \(\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{{141}}{{400}}\) \( \Rightarrow SH = \frac{{20}}{{\sqrt {141} }}\) và thể tích \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = \frac{1}{6}.2.4.5 = \frac{{20}}{3}\) Mặt khác \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{{20}}{3} \Leftrightarrow {S_{ABC}} = \frac{{\frac{{20}}{3}.3}}{{\frac{{20}}{{\sqrt {141} }}}} = \sqrt {141} .\)
Câu 46: Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A'}{B'}{C'}\) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và \({B'}{C'}.\) Mặt phẳng \(\left( {{A'}NM} \right)\) cắt cạnh BC tại P. Thể tích khối đa diện \(MBP.{A'}{B'}N\) bằng: A. \(\frac{{7{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{{32}}.\) B. \(\frac{{{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{{32}}.\) C. \(\frac{{7{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{{68}}.\) D. \(\frac{{7{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{{96}}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. Khi đó MF//AE mà AE//\(A'N\) nên MF//\(A'N\). Suy ra các điểm \(A',M,F,N\) thuộc cùng một mặt phẳng. Vậy \(\left( {A'MN} \right)\) cắt cạnh BC tại P nên P trùng với F. “Thể tích khối chóp cụt là \(V = \frac{h}{3}\left( {B + B' + \sqrt {BB'} } \right)\) với h là chiều cao; B, B’ lần lượt là diện tích hai đáy”. Xét khối chóp cụt \(MBP.A'B'N\) có chiều cao \(h = BB' = a.\) Và diện tích đáy \(\left\{ \begin{array}{l}B = {S_{MBP}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{8} = \frac{S}{8}\\B' = {S_{A'B{\rm{'}}N}} = \frac{{{S_{A'B'C'}}}}{2} = \frac{S}{2}\end{array} \right.\) với \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\) Vậy thể tích khối đa diện \(MBP.A'B'N\) là \(V = \frac{{BB'}}{3}\left( {\frac{S}{8} + \frac{S}{2} + \sqrt {\frac{S}{8}.\frac{S}{2}} } \right) = \frac{{7\sqrt 3 {a^3}}}{{96}}.\)
Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\sqrt 2 .\) SA vuông góc với đáy, tam giác SBD đều. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. A. \(\frac{{2{{\rm{a}}^3}\sqrt 2 }}{3}.\) B. \(2{{\rm{a}}^3}\sqrt 2 .\) C. \(\frac{{{{\rm{a}}^3}\sqrt 2 }}{3}.\) D. \({{\rm{a}}^3}\sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(AB = x,\) tam giác ABD vuông cân tại A\( \Rightarrow B{\rm{D}} = x\sqrt 2 .\) Tam giác ABD đều \( \Rightarrow SB = S{\rm{D}} = B{\rm{D}} = x\sqrt 2 .\) Tam giác SAB vuông tại A \( \Rightarrow S{A^2} + A{B^2} = S{B^2} \Leftrightarrow {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} + {x^2} = {\left( {x\sqrt 2 } \right)^2}\) \( \Rightarrow {x^2} = 2{{\rm{a}}^2} \Rightarrow x = a\sqrt 2 \Rightarrow {V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{{2{{\rm{a}}^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có \(SA = a,\) tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là: A. \(\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{4}.\) B. \(\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{24}}.\) C. \(\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{12}}.\) D. \(\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{8}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của AB suy ra \(SH \bot AB.\) Lại có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {SAB} \right)\) Khi đó \(SH = \frac{{SA}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }};\,\,AB = SA\sqrt 2 = a\sqrt 2 \) Suy ra \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Câu 49: Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Khối 12 mặt đều và khối 20 mặt đều có cùng số đỉnh. B. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có cùng 1 tâm đối xứng. C. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh. D. Mọi khối đa diện đều có số mặt là một số chia hết cho 4. Spoiler: Xem đáp án Khối 12 mặt đều và 20 mặt đều có cùng số cạnh (30 cạnh). Tứ diện đều không có tâm đối xứng. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh (12 cạnh).
Câu 50: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^o}.\) Tính thể tích V của khối chóp. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{{4\sqrt 3 }}.\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{{2\sqrt 3 }}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right).\) Suy ra OA là hình chiếu của SA lên (ABC). \( \Rightarrow \widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,OA} \right)} = \widehat {SAO} = {60^o}.\) Tam giác SAO, vuông tại O ta có: \(\tan \widehat {SAO} = \frac{{SO}}{{AO}} \Rightarrow SO = \tan {60^o}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = a.\) Thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
