Câu 91: Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng 8, bán kính đấy bằng 4. Thể tích khối trụ bằng: A. \(32\pi \) B. \(128\pi \) C. \(\frac{{32\pi }}{3}\) D. \(\frac{{128\pi }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 92: Cho ngũ giác ABCNM có độ dài các cạnh \(AB = 2cm;CN = 3cm;MN = 4cm;\) \(AM = 6cm.\) Biết các góc tại đỉnh A, M, N của tứ giác là các góc vuông. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi quay ngũ giác quanh trục MN. A. \(76\pi \left( {c{m^3}} \right)\) B. \(114\pi \left( {c{m^3}} \right)\) C. \(38\pi \left( {c{m^3}} \right)\) D. \(104\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích khối tròn xoay sinh ra gồm 2 phần. Phần 1: là hình trụ có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 2 Phần 2: là hình nón cụt có \({r_1} = 6;{r_2} = 3;h = 2\) Khi đó \({V_1} = \pi {6^2}.2;{V_2} = \frac{1}{3}\pi \left( {{S_1} + \sqrt {{S_1}.{S_2}} + {S_2}} \right) = \frac{\pi }{3}\left( {\pi r_1^2 + \pi {r_1}{r_2} + \pi r_2^2} \right)\) Suy ra \(V = {V_1} + {V_2} = 72\pi + 42\pi = 114\pi \).
Câu 93: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Cạnh \(AC = 2a\sqrt 2 \). Biết AA' = h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. A. \(V = \frac{2}{3}\pi {a^2}h.\) B. \(V = \frac{4}{3}\pi {a^2}h.\) C. \(V = \pi {a^2}h.\) D. \(V = 2\pi {a^2}h.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \) Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}h = 2\pi {a^2}h\).
Câu 94: Cho khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và thể tích bằng \(12\pi \). Tính diện tích xung quanh của hình nón. A. \({S_{xq}} = 15\pi .\) B. \({S_{xq}} = 24\pi .\) C. \({S_{xq}} = 16\pi .\) D. . \({S_{xq}} = 18\pi .\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 95: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(SA = 2a,AB = a,BC = a\sqrt 3 \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\) B. \(R = a.\) C. \(R = a\sqrt 2 .\) D. \(R = 2a\sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 96: Cho hình chóp S.ABC có \(AB = a\sqrt 2 ,\,\,AC = a,\,\,BC = a\sqrt 5 ,\,\,SA = a.\) Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{2}.\) B. \(\frac{{a\sqrt {11} }}{5}.\) C. \(\frac{{3a\sqrt {11} }}{2}.\) D. \(\frac{{7a\sqrt {11} }}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\rm{cos}}\widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \sin \widehat {ACB} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: \(r = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2.\frac{{\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}a.\) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Dựng trung trực \(\Delta \) của cạnh SA. Gọi \(O = d \cap \Delta .\) Ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(R = \sqrt {I{A^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}\,\,\,do\,\,\,IA = r.\)
Câu 97: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết \(AC = a\sqrt 2 ,\,\,\widehat {DCA} = {30^o}.\) Tính theo a thể tích khối trụ. A. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{{48}}\pi {a^3}.\) B. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{{32}}\pi {a^3}.\) C. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{{16}}\pi {a^3}.\) D. \(\frac{{3\sqrt 6 }}{{16}}\pi {a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét tam giác vuông ADC, có: \(A{\rm{D}} = AC.\sin {30^o} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = h;\,\,\,DC = AC.\cos {30^o} = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\) Bán kính đáy hình trụ: \(r = \frac{{DC}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\) Thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}h = \frac{{3\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{16}}.\)
Câu 98: Bé Bách có một tấm bìa có chiều dài 20cm, chiều rộng 1cm. Bé muốn gấp một cái hộp nhỏ xinh để bỏ kẹp tóc vào hộp đó tặng quà cho mẹ ngày 20 tháng 10. Anh Siêu đã chỉ cho bé hai cách gấp hộp. Cách thứ nhất là bé cuốn tấm bìa thành một cái hộp hình trụ không có 2 đáy có thể tích V1. Cách thứ hai là bé gập tấm bìa một hình hộp chữ nhật có thể tích V2 có các kích thước như hình vẽ. Hãy tìm tỉ số thể tích của 2 hộp để biết được gấp theo cách nào sẽ có thể tích lớn hơn A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 4\pi \) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{\pi }\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{4}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 4\) Spoiler: Xem đáp án Chiều dài của tấm bìa là 20cm tức là chu vi đáy hộp hình trụ và đáp hộp hình hộp là 20cm. Do 2 khối có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích sẽ tính theo tỉ số diện tích đáy của hai hình. Để tính được diện tích hình tròn đáy của khối hộp hình trụ, ta phải đi tìm bán kính đáy. Theo giả thiết chu vi cho là \(20 = 2\pi .R \Leftrightarrow R = \frac{{10}}{\pi }\). Khi đó \({S_1} = \pi {R^2} = \pi .\frac{{100}}{{{\pi ^2}}} = \frac{{100}}{\pi }\) Diện tích đáy của hình hộp \({S_2} = 5.5 = 25\) Khi đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{100}}{\pi };25 = \frac{4}{\pi }\).
Câu 99: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AC = 3{\rm{a}},\,\,AB = 4{\rm{a}}.\) Tính thể tích khối nón sinh ra bởi tam giác đó khi quay quanh đường thẳng AB. A. \(12\pi {a^3}.\) B. \(36\pi {a^3}.\) C. \(15\pi {a^3}.\) D. \(6\pi {a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào giả thiết, ta có chiều cao và bán kính đáy của khối nón lần lượt là \(h = AB = 4a\) và \(r = AC = 3{\rm{a}}.\) Vậy thể tích khối nón tạo thành là \(V = \frac{1}{3}\pi {{\rm{r}}^2}h = 12\pi {a^3}.\)
Câu 100: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân và có độ dài các cạnh \(AB = BC = 2,AA' = 2\sqrt 2 \). Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(AB'A'C\) là: A. \(\frac{{16\pi }}{3}\) B. \(16\pi \) C. \(\frac{{32\pi }}{3}\) D. \(32\pi \) Spoiler: Xem đáp án Gọi E là trung điểm của A’C’. Kẻ đường thẳng Et song song với AA’. Đường trung trực của AA’ cắt Et tại I. Khi đó IA=IA’=IB’=IC. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB’A’C. Ta có: \(IF = \frac{{A'C'}}{2} = \sqrt 2 ;A'F = AF = \sqrt 2 \Rightarrow IA' = \sqrt {A'F + I{F^2}} = 2\) \( \Rightarrow R = 2 \Rightarrow V = \frac{{32\pi }}{3}.\)
