Câu 101: Từ một miếng sắt tây hình tròn bán kính R, ta cắt đi một hình quạt và cuộn phần còn lại thành một cái phễu hình nón. Số đo cung của hình quạt bị cắt đi phải là bao nhiêu độ (tính xấp xỉ) để hình nón có dung tích lớn nhất. A. \({65^0}\) B. \({90^0}\) C. \({45^0}\) D. \({60^0}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón. Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x. Bán kính r của đáy được xác định bởi công thức: \(2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}\) Chiều cao của hình nón theo Định lý Pitago là: \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \) Thể tích của khối nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}{\left( {\frac{x}{{2\pi }}} \right)^2}\sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \) Ta có: \({V^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9}.\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}}.\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}}\left( {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \right) \le \frac{{4{\pi ^2}}}{9}{\left( {\frac{{\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}{3}} \right)^3} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9}.\frac{{{R^6}}}{{27}}\) Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi \(\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} = {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} \Rightarrow x = \frac{{2\pi R\sqrt 6 }}{3}\) \( \Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }} = \frac{{\frac{{2\pi }}{3}R\sqrt 6 }}{{2\pi }} = \frac{{R\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow \sin ISM = \frac{r}{R} = \frac{{\frac{{R\sqrt 6 }}{3}}}{R} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) Vậy góc cần tìm là: \(\widehat {ISM} = {65^0}.\)
Câu 102: Một miếng gỗ hình lập phương cạnh 2 cm được đẽo đi để tạo thành một khối trụ (T) có chiều cao bằng chiều cao của miếng gỗ và có thể tích lớn nhất có thể. Diện tích xung quanh của (T) là: A. \(4\pi {\rm{ }}c{m^2}\) B. \(2\pi {\rm{ }}c{m^2}\) C. \(2\pi \sqrt 2 {\rm{ }}c{m^2}\) D. \(4\pi \sqrt 2 {\rm{ }}c{m^2}\) Spoiler: Xem đáp án Khối trụ được đẽo chính là khối trụ nội tiếp hình lập phương. Khi đó, chiều cao của khối trụ là \(h = 2\) cm, bán kính đường tròn đáy \(r = 1cm\) Vậy diện tích xung quanh của khối trụ (T) là \({S_{xq}} = 2\pi rl = 4\pi c{m^2}.\)
Câu 103: Có một chiếc cốc có dạng như bản vẽ. Biết chiều cao của chiếc cốc là 7cm, bán kính đáy của cốc là 5cm, bán kính miệng cốc là 10cm. Tính thể tích V của chiếu cốc. A. \(\frac{{1400\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\) B. \(\frac{{1225\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\) C. \(1225\pi \left( {c{m^3}} \right)\) D. \(1225\left( {c{m^3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Cách 1: Ta có: \(\frac{{O'M}}{{OM}} = \frac{{O'J}}{{OI}} \Leftrightarrow \frac{{O'M}}{{O'M + 7}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow O'M = 7\left( {cm} \right)\) \( \Rightarrow OM = 7 + 7 = 14\left( {cm} \right)\) Thể tích của khối nón đỉnh M, bán kính O’J là: \({V_1} = \frac{1}{3}\pi .O'{J^2}MO' = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.7 = \frac{{175}}{3}\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Thể tích của khối nón đỉnh M, bán kính OI là: \({V_2} = \frac{1}{3}\pi .O{I^2}OM = \frac{1}{3}\pi {.10^2}.14 = \frac{{1400}}{3}\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Thể tích của chiếc cốc là: \(V = {V_2} - {V_1} = \frac{{1400\pi }}{3} - \frac{{175\pi }}{3} = \frac{{1225\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\) Cách 2: Công thức tính thể tích nón cụt: \({V_1} = \frac{1}{3}h.\left( {S + S' + \sqrt {SS'} } \right) = \frac{1}{3}.\frac{7}{3}\left( {100\pi + 25\pi + \sqrt {100\pi .25\pi } } \right)\frac{{1225}}{3}\pi \left( {c{m^3}} \right).\)
Câu 104: Cho (S) là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện đều cạnh a. Tính bán kính R của mặt cầu (S). A. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) D. \(R = \frac{a}{2}\) Spoiler: Xem đáp án S.ABC là tứ diện đề nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Trong mặt phẳng (SAO), kẻ đường trung trục của cạnh SA, d cắt SO tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Ta có: \(\Delta SAO \sim \Delta SIN \Rightarrow SI = \frac{{SN.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2\sqrt {S{A^2} - A{O^2}} }}\) Vậy: \(R = SI = \frac{{{a^2}}}{{2\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
Câu 105: Cho hình nón có độ dài đường sinh là I, độ dài đường cao là h và r là bán kính đáy. Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón. A. \({S_{xq}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\) B. \({S_{xq}} = \pi {r^2}h\) C. \({S_{xq}} = \pi rl\) D. \({S_{xq}} = \pi rh\) Spoiler: Xem đáp án Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh là I, độ dài đường cao là h và r là bán kính đáy là: \({S_{xq}} = \pi rl.\)
Câu 106: Cho hình tròn có bán đáy bằng 2 và hình vuông có cạnh bằng 4 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của hình vuông là tâm của hình tròn (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY. A. \(V = \frac{{32\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\pi }}{3}.\) B. \(V = \frac{{8\left( {5\sqrt 2 + 1} \right)\pi }}{3}.\) C. \(V = \frac{{8\left( {5\sqrt 2 + 2} \right)\pi }}{3}.\) D. \(V = \frac{{8\left( {3\sqrt 2 + 3} \right)\pi }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Khối tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục AC bao gồm: + Khối cầu có bán kính: \(R = 2 \Rightarrow {V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{32}}{3}\pi .\) + Khối nón có chiều cao \(h = \frac{{AC}}{2} = 2\sqrt 2 \) và bán kính đường tròn đáy \(r = \frac{{B{\rm{D}}}}{2} = 2\sqrt 2 .\) \({V_N} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{r}}^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^3} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\pi .\) + Ghi nhớ: Khi quay một hình quạt bị chắn bởi hai bán kính R tạo thành một góc \(\varphi \)thì ta được khối tròn xoay có thể tích là: \({V_Q} = {V_C}.{\sin ^2}\left( {\frac{\varphi }{4}} \right) = \left[ {1 - c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2}} \right].\frac{{{V_C}}}{2};\) với \({V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\) Vậy thể tích cần tính là \(V = \frac{{32}}{3}\pi + \frac{{32\pi \sqrt 2 }}{3} - \frac{{32}}{6}\pi \left( {1 - \cos \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{8\left( {5\sqrt 2 + 2} \right)\pi }}{3}.\)
Câu 107: Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy bằng 3a và chiều cao bằng 8a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AB'C'C.\) A. \(R = 4{\rm{a}}.\) B. \(R = 5{\rm{a}}.\) C. \(R = a\sqrt {19} .\) D. \(R = 2{\rm{a}}\sqrt {19} .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi P và I lần lượt là trung điểm của \(A'C'\) và AC. \(\begin{array}{l}EN = \frac{1}{2}IC = \frac{1}{4}AC;\,\,QM = AI = \frac{1}{2}AC\\B'P = \sqrt {{{\left( {3{\rm{a}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{3{\rm{a}}}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2}\end{array}\) \(\frac{{ON}}{{OM}} = \frac{{EN}}{{QM}} = \frac{{\frac{1}{4}AC}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OM = \frac{2}{3}MN = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}B'P = \frac{1}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Ta có: \(PM = \frac{{PI}}{2} = \frac{{8{\rm{a}}}}{2} = 4{\rm{a}}{\rm{.}}\) Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(A{B^'}{C^'}C\) là: \(R = OC' = \sqrt {O{M^2} + MC{'^2}} = \sqrt {O{M^2} + M{P^2} + PC{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {4{\rm{a}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3{\rm{a}}}}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt {19} .\)
Câu 108: Cho hình hộp chữ nhật \(ABC{\rm{D}}.{A'}{B'}{C'}{{\rm{D}}'}\) có \(AB = 2{\rm{a}},\,\,A{\rm{D}} = 3a,\,\,A{A'} = 4a.\) Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho. A. \(V = \frac{{144\pi {a^3}}}{{13}}.\) B. \(V = 13\pi {a^3}.\) C. \(V = 24\pi {a^3}.\) D. \(V = 13{a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}} = \sqrt {{{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^2} + {{\left( {3{\rm{a}}} \right)}^2}} = a\sqrt {13} .\) Bán kính đáy của khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là: \(R = BI = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\) Thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{{a\sqrt {13} }}{2}} \right)^2}.4a = 13\pi {a^3}.\)
Câu 109: Cho tam giác ABC có \(AB = \sqrt {13} \,\,\left( {cm} \right);\,\,BC = \sqrt 5 \,\,\left( {cm} \right);\,\,AC = 2\,\,\left( {cm} \right).\) Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AC. A. \(V = \frac{{10\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right).\) B. \(V = 8\pi \left( {c{m^3}} \right).\) C. \(V = \frac{{16\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right).\) D. \(V = \frac{{8\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(\cos \widehat {\rm{C}} = \frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{{2.CA.CB}} = \frac{{ - \sqrt 5 }}{5}\) \( \Rightarrow \widehat C > {90^o} \Rightarrow \cos \widehat {{\rm{BCH}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }};\,\,\,\sin \widehat {{\rm{BCH}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\) Khi ta quay tam giác quanh AB thì ta được khối có thể tích là: \(\begin{array}{l}V = {V_{N1}} - {V_{N2}} = \frac{1}{3}\pi B{H^2}.AH - \frac{1}{3}\pi B{H^2}CH= \frac{1}{3}\pi B{H^2}\left( {AH - CH} \right) = \frac{1}{3}\pi B{H^2}.AC = \frac{8}{3}\pi .\end{array}\) (Trong đó \({V_{N1}},{V_{N2}}\) là thể tích các hình nón tạo thành khi quay các tam giác CBH và CAH quanh AB).
Câu 110: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều cạnh chung BC = 2. Cho biết mặt bên (DBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc \(2\alpha \) mà \(\cos 2\alpha = - \frac{1}{3}\). Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó. A. O là trung điểm của AB. B. O là trung điểm của AD. C. O là trung điểm của BD. D. O thuộc mặt phẳng (ADB). Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm cạnh BC. Vì ABC và DBC là 2 tam giác đều bằng nhau nên 2 trung truyến AM và DM cùng vuông góc với BC và \(AM = DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Trong \(\Delta MA{\rm{D}}\): \(A{{\rm{D}}^2} = A{M^2} + D{M^2} - 2AM.DM.\cos 2\alpha \) \( \Rightarrow AD = 2.2.\frac{{3{a^2}}}{4} - 2.\frac{{3{a^2}}}{4}.\frac{1}{3} = 2{a^2}\) Ta có: \(B{A^2} + B{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = A{D^2}\) \( \Rightarrow ABD = {90^0}\) Tương tự: \(C{A^2} + C{D^2} = A{D^2}\) \( \Rightarrow ACD = {90^0}\) Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O là trung điểm cạnh AD.
