Câu 111: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng S, diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính a. Tính thể tích V của khối trụ. A. \(V = \frac{1}{2}Sa\) B. \(V = \frac{1}{3}Sa\) C. \(V = \frac{1}{4}Sa\) D. \(V = Sa\) Spoiler: Xem đáp án Gọi R và h là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Khi đó: \({S_d} = \pi {{\rm{R}}^2} \Rightarrow \pi {{\rm{R}}^2} = 4\pi {a^2}\) (Sd là diện tích mặt cầu) \( \Rightarrow R = 2{\rm{a}}\) \({S_{xq}} = 2\pi {\rm{R}}h = S\left( {{S_{xq}} = S} \right) \Rightarrow h = \frac{S}{{4\pi a}}\) Vậy \(V = {S_d}.h = 4\pi {a^2}.\frac{S}{{4\pi a}} = Sa\)
Câu 112: Tính thể tích V của khối nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 900. A. \(V = \frac{{\pi {h^3}}}{3}\) B. \(V=\frac{{\sqrt 6 \pi {h^3}}}{3}\) C. \(V=\frac{{2\pi {h^3}}}{3}\) D. \(V=2\pi {h^3}\) Spoiler: Xem đáp án Do góc ở đỉnh của hình nón bằng 900 nên thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân. Suy ra bán kính đáy của hình nón là \(R = h\) Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}h = \frac{{\pi {h^3}}}{3}.\)
Câu 113: Một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5cm\) , chiều cao \(h = 50cm\) . Hỏi diện tích xung quanh hình trụ đó bằng bao nhiêu? A. \(500c{m^2}\) B. \(500\pi c{m^2}\) C. \(250c{m^2}\) D. \(2500\pi c{m^2}\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{xq}} = 2\pi {\rm{rh}} = 2\pi .5.50 = 500\pi .\)
Câu 114: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và thể tích bằng \(18\pi \). Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ. A. \({S_{xq}} = 18\pi \) B. \({S_{xq}} = 36\pi \) C. \({S_{xq}} = 12\pi \) D. \({S_{xq}} = 6\pi \) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(V = \pi {r^2}h \Leftrightarrow 18\pi = \pi {.3^2}.h \Leftrightarrow h = 2\). Khi đó \({S_{xq}} = 2\pi rh = 12\pi \)
Câu 115: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(3\sqrt 2 \) và đường cao bằng \(3\sqrt 3 \). Tính diện tích của S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. A. \(48\pi \) B. \(4\sqrt 3 \pi \) C. \(12\pi \) D. \(32\sqrt 3 \pi \) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của BC, J là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\) Đường thẳng qua J và vuông góc với SI giao với SO tại K. Khi đó K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ta có: \(2O{B^2} = B{C^2} \Leftrightarrow 2O{B^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18 \Leftrightarrow OB = 3\) \(\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{2}{{O{B^2}}} = \frac{2}{9} \Leftrightarrow OI = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\) \(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt {14} }}{2}\) \(SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}} = 6\) Đặt \(SJ = r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\) Ta có: \({S_{SBC}} = \frac{1}{2}SI.BC = \frac{{SB.SC.BC}}{{4r}} \Leftrightarrow r = \frac{{SB.SC}}{{2.SI}} = \frac{{{6^2}}}{{2.\frac{{3\sqrt {14} }}{2}}} = \frac{{12}}{{14}} \Rightarrow SJ = \frac{{12}}{{\sqrt {14} }}\) Vì \(\Delta SKJ\~\Delta SIO\) nên \(\frac{{SK}}{{SJ}} = \frac{{SI}}{{SO}} \Leftrightarrow SK = \frac{{SI}}{{SO}}.SJ = \frac{{\frac{{3\sqrt {14} }}{2}}}{{3\sqrt 3 }}.\frac{{12}}{{\sqrt {14} }} = 2\sqrt 3 \) Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(S = 4\pi .S{K^2} = 4\pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 48\pi \)
Câu 116: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các kích thước là \(AB = 2,AD = 3,AA = 4\). Gọi (N) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt ABB’A’ và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật CDD’C’. Tính thể tích V của hình nón (N). A. \(\frac{{13}}{3}\pi \) B. \(5\pi \) C. \(8\pi \) D. \(\frac{{25}}{6}\pi \) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(BA' = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \) Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: \(R = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \) Thể tích của hình nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}.3 = 5\pi \)
Câu 117: Cho hình trụ có bán kính đáy và trục \(O{O'}\) cùng có độ dài bằng 1. Một mặt phẳng (P) thay đổi đi qua O, tạo với đáy của hình trụ một góc \({60^o}\) và cắt hai đáy của hình trụ đã cho theo hai dây cung AB và CD (AB qua O). Tính diện tích của tứ giác ABCD. A. \(\frac{{3\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{2}.\) B. \(\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{2}.\) C. \(2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 .\) D. \(\frac{{2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(I{\rm{O}} = \frac{{OO'}}{{\sin {{60}^o}}} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }};\,\,IO' = OO'.\cot {60^o} = 1.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\) \(IC = \sqrt {O'{C^2} - I{\rm{O}}{{\rm{'}}^2}} = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow DC = 2IC = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.\) Diện tích tứ giác ABCD là: \(S = \frac{{\left( {AB + C{\rm{D}}} \right)OI}}{2} = \frac{{\left( {2 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right).\frac{2}{{\sqrt 3 }}}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 }}{3}.\)
Câu 118: Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng một và thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Tính diện tích xung quanh hình nón. A. \(\sqrt 2 \pi .\) B. \(\pi .\) C. \(2\sqrt 2 \pi .\) D. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\pi .\) Spoiler: Xem đáp án ABC vuông cân tại A nên \(AO = OB = \frac{1}{2}BC.\) Gọi \(\ell \) là độ dài đường sinh của hình nón. Ta có: \({\ell ^2} = A{B^2} = \sqrt {A{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{R^2} + {R^2}} \Rightarrow \ell = \sqrt 2 .\) Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi {\rm{r}}\ell = \pi \sqrt 2 .\)
Câu 119: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và mặt bên hợp với mặt đáy một góc \({60^o}.\) A. \(\frac{{\sqrt 6 }}{4}.\) B. \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}.\) C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}.\) D. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của SC, qua M vẽ đường trung trục của SC cắt SO tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. \(\begin{array}{l}OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }};\,\,\,SO = OC.\tan {60^o} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}.\\SC = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \sqrt 2 \Rightarrow SM = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\\\Delta SOC \sim \Delta SMI \Rightarrow \frac{{SO}}{{SC}} = \frac{{SM}}{{SI}} \Rightarrow SI = SM.\frac{{SC}}{{SO}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\end{array}\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là \(R = SI = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
Câu 120: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông vân có cạnh góc vuông bằng 2. Tính diện tích của thiết diện đi qua đỉnh và cắt đáy của hình nón theo cung \({120^0}.\) A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\) B. \(\sqrt 3 \) C. \(\sqrt {15} \) D. \(\frac{{\sqrt {15} }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow AH = HC = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 2 \) \(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} - 2.AH.HC\cos {120^0} = 2{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 6\) \( \Rightarrow AC = \sqrt 6 \). Gọi K là trung điểm của AC. Ta có: \(KH = \sqrt {A{H^2} - A{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{1}{2};IH = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 2 \) \(IK = \sqrt {I{H^2} + K{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{5}{2}} ;{S_{IAC}} = \frac{1}{2}IK.AC = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{6}{2}} .\sqrt 6 = \frac{{\sqrt {15} }}{2}.\)
