Câu 121: Cho hình nón có đường kính đáy bằng 6a, diện tích xung quanh bằng \(15\pi {a^2}\). Tính thể tích của khối nón. A. \(24\pi {a^3}\) (đvtt) B. \(30\pi {a^3}\) (đvtt)\ C. \(12\pi {a^3}\) (đvtt) D. \(18\pi {a^3}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy là: \(r = \frac{{6a}}{2} = 3a\) \(S{_{xq}} = \pi rl = 15\pi {a^2} \Leftrightarrow \pi .3a.l = 15\pi {a^2} \Leftrightarrow l = 5a\) Chiều cao của khối nón là: \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2} - {{\left( {3a} \right)}^2}} = 4a\) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {3a} \right)^2}.4a = 12\pi {a^3}\)
Câu 122: Cho mặt cầu (S) có diện tích mặt cầu bằng \(16\pi \) (đvdt). Tính thể tích khối cầu. A. \(\frac{{32\pi \sqrt 3 }}{9}\) (đvtt) B. \(\frac{{32\pi \sqrt 3 }}{3}\) (đvtt) C. \(\frac{{32\pi }}{9}\) (đvtt) D. \(\frac{{32\pi }}{3}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Gọi R là bán kính mặt cầu. Ta có \(4\pi {R^2} = 16\pi \Leftrightarrow R = 2\) Thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi .{R^3} = \frac{4}{3}\pi {.2^3} = \frac{{32\pi }}{3}\)
Câu 123: Cho đường thẳng d cố định. Đường thẳng \(\Delta \) song song với d và cách d một khoảng không đổi. Xác định mặt tròn xoay được tạo thành khi quay \(\Delta \) quanh d. A. Mặt trụ B. Hình trụ C. Mặt nón D. Hình nón Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(\Delta \) song song với d và cách d một khoảng không đổi. Xác định mặt tròn xoay được tạo thành khi quay \(\Delta \) quanh d tạo thành một mặt trụ.
Câu 124: Cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của \(\left( {{S_1}} \right)\) thuộc \(\left( {{S_2}} \right)\) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right).\) A. \(V = \pi {R^3}\) B. \(V = \frac{{\pi {R^3}}}{2}\) C. \(V = \frac{{5\pi {R^3}}}{{12}}\) D. \(V = \frac{{2\pi {R^3}}}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Giao của hai khối cầu thỏa mãn đầu bài là hai chỏm cầu có cùng chiều cao \(h = \frac{R}{2};\) và bán kính R. Vậy thể tích của 2 chỏm cầu cần tìm là: \(V = 2\pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = 2\pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}\left( {R - \frac{R}{6}} \right) = 2\pi \frac{{5{R^3}}}{{24}} = \frac{{5\pi {R^3}}}{{12}}.\)
Câu 125: Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạnh hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số \(\frac{h}{r}.\) A. \(\frac{h}{r} = 3\) B. \(\frac{h}{r} = 2\) C. \(\frac{h}{r} = \frac{4}{3}\) D. \(\frac{h}{r} = \frac{{16}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Theo đề bài ta có bán kính của khối cầu và khối nón đều bằng r. Suy ra: \({V_{non}} = \frac{3}{4}.{V_{cau}} \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{3}{4}.\frac{4}{3}\pi {r^3} \Leftrightarrow \frac{h}{r} = 3.\)
Câu 126: Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. A. \(R = a\sqrt 2 \) B. \(R = a\) C. \(R = a\sqrt 3 \) D. \(R = 2a\) Spoiler: Xem đáp án Gọi hình lăng trụ là \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\) và O; O’ lần lượt là tâm hai lục giác đều \(ABCDEF\) và \(A'B'C'D'E'F'.\). Khi đó ta có \(OA = a;OO' = 2a\). Gọi I là trung điểm của OO’ thì \(OI = a\) . Ta có \(\Delta OAI\) vuông tại O: \(R = AI = \sqrt {I{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 .\)
Câu 127: Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh a. Tính diện tích toàn phần S của hình trụ. A. \(S = \frac{{3\pi {a^2}}}{2}\) B. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\) C. \(S = 4\pi {a^2}\) D. \(S = \pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án \(r = OA = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};h = AA' = a\) nên: \({S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2} = 2\pi .\frac{a}{2}.a + 2\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2} + \frac{{\pi {a^2}}}{2} = \frac{{3\pi {a^2}}}{2}\)
Câu 128: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng x. Mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh tứ diện đều ABCD có bán kính bằng: A. \(\frac{{3{\rm{x}}\sqrt 2 }}{4}.\) B. \(\frac{{3{\rm{x}}\sqrt 2 }}{2}.\) C. \(\frac{{3{\rm{x}}\sqrt 2 }}{6}.\) D. \(\frac{{{\rm{x}}\sqrt 2 }}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Do tứ diện ABCD đều nên tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh cũng trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Suy ra H chính là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó AH chính là trục đường tròn ngoài tiếp tam giác BCD. Gọi K là trung điểm của AB. Mặt phẳng trung trực của AB qua K cắt AH tại I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD. Ta có: \(r = IK.\) Mặt khác \(\Delta AKI \sim \Delta AHB \Rightarrow \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{IK}}{{HB}}.\) \( \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{2{\rm{A}}H}} = \frac{{IK}}{{HB}},\) trong đó \(AB = x,\,\,HB = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}.\) \(AH = \sqrt {A{B^2} - H{B^2}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow r = IK = \frac{{x\sqrt 2 }}{4}.\)
Câu 129: Cho hình lập phương \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'{\rm{D}}'\) có đường chéo \(B{\rm{D}}' = x\sqrt 3 .\) Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông \(ABC{\rm{D}}\) và \(A'B'C'{\rm{D}}'.\) Diện tích S là: A. \(\pi {{\rm{x}}^2}.\) B. \(\frac{{\pi {{\rm{x}}^2}\sqrt 2 }}{2}.\) C. \(\pi {{\rm{x}}^2}\sqrt 3 .\) D. \(\pi {{\rm{x}}^2}\sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi A là độ dài cạnh hình vuông ta có: Ta có: \(B{\rm{D' = a}}\sqrt 3 = x\sqrt 3 \Rightarrow a = x.\) Khi đó hình trụ cần tìm có bán kính đáy là \(r = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}.\) Chiều cao hình trụ là \(h = x \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi {\rm{r}}h = 2\pi \frac{{x\sqrt 2 }}{2}x = \pi {{\rm{x}}^2}\sqrt 2 .\)
Câu 130: Một hình nón đỉnh S, đáy hình tròn tâm O và \(SO = h.\) Một mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt đường tròn (O) theo dây cung AB sao cho \(\widehat {AOB} = {90^o},\) biết khoảng cách từ O đến (P) bằng \(\frac{h}{2}.\) Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng: A. \(\frac{{\pi {h^2}\sqrt {10} }}{6}.\) B. \(\frac{{\pi {h^2}\sqrt {10} }}{{3\sqrt 3 }}.\) C. \(\frac{{2\pi {h^2}\sqrt {10} }}{3}.\) D. \(\frac{{\pi {h^2}\sqrt {10} }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Dựng \(OE \bot AB\) khi đó E là trung điểm của AB. Dựng \(OF \bot SE \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OF = \frac{h}{2}.\) Ta có \(SO = h.\) Lại có \(\frac{1}{{O{F^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} \Rightarrow OE = \frac{h}{{\sqrt 3 }}\) Lại có \(OE = \frac{R}{{\sqrt 2 }} = \frac{h}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow r = \frac{{\sqrt 6 }}{3}h \Rightarrow {S_{xq}} = \pi rl = \pi r\sqrt {{r^2} + {h^2}} = \frac{{\pi {h^2}\sqrt {10} }}{3}.\)
