Câu 131: Các bán kính đáy của một hình nón cụt lần lượt là x và 3x, đường sinh là 2,9x. Khi đó thể tích của khối nón cụt là: A. \(\frac{{77\pi {{\rm{x}}^3}}}{{10}}.\) B. \(\frac{{\pi {{\rm{x}}^3}}}{3}.\) C. \(\frac{{\pi {{\rm{x}}^3}\sqrt 2 }}{{9\sqrt 3 }}.\) D. \(\frac{{91\pi {{\rm{x}}^3}}}{{10}}.\) Spoiler: Xem đáp án Công thức tính thể tích khối nón cụt: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + S' + \sqrt {SS'} } \right)\) với S và S’ là diện tích các mặt đáy. Lại có: \(h = \sqrt {{l^2} - {{\left( {{r_1} - {r_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2,9{\rm{x}}} \right)}^2} - {{\left( {3{\rm{x}} - x} \right)}^2}} = 2,1{\rm{x}}.\) Khi đó: \(S = 9\pi {{\rm{x}}^2};\,\,S' = \pi {{\rm{x}}^2} \Rightarrow V = \frac{{91\pi {{\rm{x}}^2}}}{{10}}.\)
Câu 132: Cho tứ diện \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \) và \(SA = a\sqrt 2 \),\(SB = a\sqrt 2 \), \(SC = a\sqrt 5 \).Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(S.ABC\). A. \(R = \frac{{a\sqrt {259} }}{7}.\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {259} }}{{14}}.\) C. \(R = \frac{{a\sqrt {259} }}{2}.\) D. \(R = \frac{{a\sqrt {37} }}{{14}}.\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác \(SBC\) có \(B{C^2} + S{B^2} = S{C^2}\). Nên tam giác \(SBC\) vuông tại \(B.\) Hay \(CB \bot SB\). Lại có: \(CB \bot AB\). Suy ra \(CB \bot \left( {SAB} \right)\). Có \(SA = SB = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SAB\) cân tại \(S\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAB\), khi đó \(O \in SN\), với \(N\) là trung điểm của \(AB\). Dựng \({\rm{Ox}}\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAB\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trong \(\left( {SB;{\rm{Ox}}} \right)\) dựng đường trung trực của \(BC\) cắt \({\rm{Ox}}\) tại \(I.\) Khi đó, \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).. Có \(SN = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\). Có: \({S_{\Delta SAB}} = \frac{{SB.SA.AB}}{{4R}} = \frac{1}{2}SN.AB\) \( \Leftrightarrow R = \frac{{SB.SA}}{{2SN}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\). Vậy bán kính mặt cầu : \(CI = \sqrt {C{M^2} + M{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {259} }}{{14}}.\)
Câu 133: Một chiếc xô hình nón cụt đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm có chiều cao 20 cm, đường kính hai đáy lần lượt là 10cm và 20 cm. Cô giáo giao cho bạn An sơn mặt ngoài của xô (trừ đáy). Tính diện tích bạn An phải sơn (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A. 1942,97 \(c{m^2}\) B. 561,25 \(c{m^2}\) C. 971,48 \(c{m^2}\) D. 2107,44\(c{m^2}\) Spoiler: Xem đáp án Kí hiệu mặt phẳng thiết diện qua trục như hình vẽ \(\Delta AO'C\) và \(\Delta AOB\) đồng dạng nên: \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{O'C}}{{OB}} \Rightarrow \frac{{{l_2}}}{{{l_1} + {l_2}}} = \frac{a}{b} \Rightarrow {l_2} = \frac{a}{{b - a}}{l_1}\) Diện tích xung quanh của hình nón lớn là \({S_{xq}}l = \pi b\left( {{l_1} + {l_2}} \right)\) Diện tích xung quanh của hình nón nhỏ là \({S_{xqn}} = \pi a{l_2}\) Diện tích xung quanh của hình nón cụt là: \({S_{xqnc}} = {S_{xql}} - {S_{xqn}} = \pi b\left( {{L_1} + {l_2}} \right) - \pi a{l_2}\) Áp dụng bài toán trên, với \(a = 5cm,b = 10cm\) và \({l_1} = 5\sqrt {17} cm\) Diện tích bạn An cần phải sơn là \(S = \pi .10.2.3\sqrt {17} - \pi .5.5\sqrt {17} = 75\pi \sqrt {17} c{m^2}.\)
Câu 134: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt \(5\,\,cm\), \(13\,\,cm\),\(12\,\,cm\). Một hình trụ có chiều cao bằng \(8\,\,cm\) ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng bao nhiêu? A. \(V = 338\pi {\rm{ }}c{m^3}\) . B. \(V = 386\pi {\rm{ }}c{m^3}\). C. \(V = 507\pi {\rm{ }}c{m^3}\). D. \(V = 314\pi {\rm{ }}c{m^3}\). Spoiler: Xem đáp án Đáy lăng trụ là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt là nên đáy là tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là . Suy ra hình trụ ngọai tiếp hình lăng trụ đứng có đáy là đường tròn bán kính là 13/2. Vậy thể tích hình trụ đó là \(V=\pi\left ( \frac{13}{2} \right )^2.8=338 \pi cm^3\)
Câu 135: Cho khối trụ có độ đài dường sinh bằng \(10\), thể tích khối trụ bằng \(90\pi \). Diện tích xung quanh của hình trụ đó là A. \(36\pi \). B. \(60\pi \). C. \(81\pi \). D. \(78\pi \). Spoiler: Xem đáp án \(V =\pi R^2.h= 90\pi \Rightarrow \pi {R^2} = \frac{{90\pi }}{{10}} \Leftrightarrow R = 3\). \({S_{xq}} = 2\pi R.h = 2\pi .3.10 = 60\pi \)(đvdt).
Câu 136: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên hợp với đáy một góc bằng \(60^\circ \). Kí hiệu \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\). A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\). B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{{27}}\). C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{8}\). D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{9}\). Spoiler: Xem đáp án +) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta có \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO\) là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) dựng đường thẳng trung trực của đoạn \(SA\) cắt \(SA,SO\) lần lượt \(H,I\). Suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) Ta có \(SA = \frac{{AO}}{{\cos \widehat {SAO}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}}a\sqrt 2 \) Ta có \(SI = \frac{{SH}}{{\cos \widehat {HSI}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow {R_{mc}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\) +) Khối nón ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) có bán kính đáy \(r = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và chiều cao \(h = SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Suy ra thể tích \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\). Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{9}\).
Câu 137: Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối tứ diện đều \(ABCD\) và \({V_2}\) là thể tích của hình nón ngoại tiếp khối tứ diện \(ABCD\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\). A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{4\pi }}\). B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\pi }}\). C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{4\pi }}\). D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{4\pi }}\). Spoiler: Xem đáp án Gọi \(a\) là độ dài các cạnh tứ diện. G là trọng tâm tam giác ABC. Thể tích khối tứ diện đều \({V_1} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.DG = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\). Hình nón ngoại tiếp tứ diện có bán kính đáy \(R = GA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Chiều cao \(h = DG = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Thể tích \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\pi \sqrt 6 }}{{27}}\). Do đó: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^3}\pi \sqrt 6 }}{{27}}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{4\pi }}\).
Câu 138: Một hình nón có bán kính đáy \(R\), đường sinh hợp với mặt đáy một góc \({30^0}\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón đã cho, tính diện tích của \(\left( S \right)\). A. \(\frac{8}{3}\pi {R^2}\). B. \(3\pi {R^2}\). C. \(4\pi {R^2}\). D. \(\frac{{16}}{3}\pi {R^2}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(SO = AO.\tan {30^0} = R\frac{{\sqrt 3 }}{3}\). \(SA = \frac{{AO}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = 2.SO\) Gọi I là tâm mặt cầu (S). Suy ra \(I\) là đỉnh thức tư của hình thoi \(IASB.\) Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\)là \(2SO = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\). Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {\left( {2SO} \right)^2} = \frac{{16}}{3}\pi {R^2}.\)
Câu 139: Trong không gian, cho tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) có \(OA = 4a\), \(OB = 3a\). Nếu cho tam giác \(OAB\) quay quanh cạnh \(OA\) thì mặt nón tạo thành có diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) bằng bao nhiêu? A. \({S_{xq}} = 9\pi {a^2}\). B. \({S_{xq}} = 16\pi {a^2}\). C. \({S_{xq}} = 15\pi {a^2}\). D. \({S_{xq}} = 12\pi {a^2}\). Spoiler: Xem đáp án Dựa vào hình vẽ dễ thấy \(h = 4a\) và \(r = 3a\) Vậy diện tích xung quanh là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi r\sqrt {{r^2} + {h^2}} = 15\pi {a^2}\).
Câu 140: Hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(SA = a\), \(AB = b\), \(AC = c\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đi qua các điểm \(A,B,C\) và \(S\). A. \(R = \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{3}.\) B. \(R = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\) C. \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\) D. \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(SA\). Dựng đường thẳng \(d\) đi qua \(H\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó \(d{\rm{//}}SA\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAH} \right)\) dựng đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(K\) và vuông góc với \(SA\). Gọi \(d\) cắt \({d_1}\) tại \(I\). Ta có \(IA = IB = IC = IS\). Khi đó mặt cầu đi qua các điểm \(A,B,C\) và \(S\) có tâm là \(I\) và bán kính là \(R = IA\). Ta có \(AH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{2}\) và \(IH = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\). Trong \(\Delta IAH\) có \(IA = \sqrt {A{H^2} + I{H^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = R\).
