Câu 141: Cho tứ diện ABCD có \(AB = 4a,CD = 6a,\) các cạnh còn lại đều bằng \(a\sqrt {22} \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A. \(3a\) B. \(\frac{{a\sqrt {85} }}{3}\) C. \(\frac{{a\sqrt {79} }}{3}\) D. \(\frac{{5a}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M, N là trung điểm của AB, CD. Dễ dàng chứng minh (DMC) và (ANB) là lần lượt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB và CD \( \Rightarrow \) Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I nằm trên đường thẳng MN. Tính được \(MN = \sqrt {D{M^2} - D{N^2}} = \sqrt {D{B^2} - B{M^2} - D{N^2}} = 3a\) Đặt \(MI = x \ge 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B{I^2} = A{I^2} = B{M^2} + B{I^2} = 4{a^2} + {x^2}}\\{D{I^2} = C{I^2} = D{N^2} + I{N^2} = 9{a^2} + {{\left( {3a \pm x} \right)}^2}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow 4{a^2} + {x^2} = 9{a^2} + {\left( {3a \pm x} \right)^2} \Leftrightarrow x = \frac{{7a}}{3} \Rightarrow R = BI = \frac{{a\sqrt {85} }}{3}\)
Câu 142: Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho \(MN \bot PQ\). Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để thu được một khối đá có hình tứ diện MNPQ. Biết rằng \(MN = 60cm\) và thể tích của khối tứ diện \(MNPQ\) bằng \(30d{m^3}\) . Hãy tính thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân) A. \(111,4d{m^3}\) B. \(121,3d{m^3}\) C. \(101,3d{m^3}\) D. \(141,3d{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện: \({V_{MNPQ}} = \frac{1}{6}MN.PQ.d\left( {MN;PQ} \right).\sin \left( {\widehat {MN;PQ}} \right) = 30000\left( {c{m^3}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{6}{.60^2}.h = 30000 \Rightarrow h = 50\left( {cm} \right)\) Khi đó lượng bị cắt bỏ là \(V = {V_T} - {V_{MNPQ}} = \pi {r^2}h - 30 = 111,4d{m^3}.\)
Câu 143: Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và có \(AB = BC = 10a,AC = 12a\), góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối nón đã cho. A. \(9\pi {a^3}\) B. \(12\pi {a^3}\) C. \(27\pi {a^3}\) D. \(3\pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là tâm đường tròn đáy của hình nón. Gọi E là trung điểm của AC khi đó \(BE = \sqrt {A{B^2} - A{E^2}} = 8a\). \(P = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = 16a \Rightarrow r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = 3\) Dựng \(IM \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SMI} \right) \Rightarrow \widehat {SMI} = {45^0}\) Mặt khác \(IM = r = 3a \Rightarrow SI = IM\tan {45^0} = 3a\) Vậy \({V_{\left( N \right)}} = \frac{1}{3}SI.\pi {r^2} = 9\pi {a^3}.\)
Câu 144: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN. A. \(R = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}.\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {29} }}{8}.\) C. \(R = \frac{{5a\sqrt 3 }}{{12}}.\) D. \(R = \frac{{a\sqrt {93} }}{{12}}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hệ trục Hxyz như hình vẽ với H là trung điểm AD đồng thời cũng là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy. Chọn \(a = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right) \Rightarrow \) trung điểm của MN là \(I\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{4};0} \right).\) Phương trình đường thẳng qua I và song song với Hz là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\y = \frac{1}{4}\\z = t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\) Ta có: \(S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Gọi O là tâm của khối cầu cần tìm, có \(O \in {\rm{d}} \Rightarrow O\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{4};m} \right).\) \(OS = OM \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4} - 0} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4} - 0} \right)^2} + {\left( {m - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{3}{4} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4} - 0} \right)^2} + {\left( {m - 0} \right)^2} \Leftrightarrow m = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {93} }}{{12}}.\)
Câu 145: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 7 và hình tròn (C) có tâm A, đường kính bằng 14 (hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng AC. A. \(V = \frac{{343\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\) B. \(V = \frac{{343\left( {12 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\) C. \(V = \frac{{343\left( {6 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\) D. \(V = \frac{{343\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\) Spoiler: Xem đáp án Khối tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục AC bao gồm: + Khối cầu có bán kính: \(R = 7 \Rightarrow {V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{1372}}{3}\pi .\) + Khối nón có chiều cao \(h = \frac{{AC}}{2}\) và bán kính đường tròn đáy \(r = \frac{{B{\rm{D}}}}{2}.\) \({V_N} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{r}}^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{343\sqrt 2 }}{{12}}\pi .\) + Trừ đi phần giao của khối cầu và khối nón chính là chỏm cầu có chiều cao là \(h = AB - \frac{{AC}}{2} \Rightarrow {V_G} = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = \pi {\left( {\frac{{14 - 7\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\left( {7 - \frac{{14 - 7\sqrt 2 }}{6}} \right) = \pi {\left( {\frac{{14 - 7\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{28 + 7\sqrt 2 }}{6}\) Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là \(V = {V_C} + {V_N} - {V_G} = \frac{{343\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)
Câu 146: Cho khối nón \(\left( N \right)\) có thể tích bằng \(4\pi \) và chiều cao là 3. Tính bán kính đường tròn đáy của khối nón \(\left( N \right).\) A. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\) B. 1 C. 2 D. \(\frac{4}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = 4\pi \, \Rightarrow R = \sqrt {\frac{{3V}}{{\pi h}}} = 2.\)
Câu 147: Cho hình lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ (T) có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi \({S_1}\) là diện tích toàn phần của hình lập phương, \({S_2}\) là diện tích toàn phần của hình trụ (T). Tìm tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.\) A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{24}}{{5\pi }}.\) B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{4}{\pi }.\) C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{8}{\pi }.\) D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{6}{\pi }.\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích toàn phần của hình lập phương là \({S_1} = 6{a^2}.\) Bán kính hình trụ là \(r = \frac{a}{2}\), khi đó \({S_2} = 2\pi {\rm{r}}h + 2\pi {{\rm{r}}^2} = 2\pi .\frac{a}{2}.a + 2\pi .\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{3}{2}\pi {a^2}.\) Do đó \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{4}{\pi }.\)
Câu 148: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{7\sqrt {24} }}{{24}}\pi {a^3}\) B. \(V = \frac{{5\sqrt {30} }}{{27}}\pi {a^3}\) C. \(V = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}\) D. \(V = \frac{{7\sqrt {21} }}{{54}}\pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm AD khi đó SH vuông góc với (ABCD). Gọi O là trọng tậm tam giác SAB Gọi I là giao điểm của AC và BD. Từ I kẻ đương thẳng vuông góc (ABCD), đường thẳng cắt đường thẳng đi qua O và vuông góc (SAD) tại M. M là tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD . Ta có \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OH = \frac{1}{3}SH = \frac{1}{6}a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow MI = OH = \frac{1}{6}a\sqrt 3 \) \(BI = \frac{1}{2}BB' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow r = MB = \sqrt {M{I^2} + I{B^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{2\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 7 }}{{2\sqrt 3 }}} \right)^3} = \pi \frac{{7{a^3}\sqrt {21} }}{{54}}\)
Câu 149: Trong mặt phẳng cho một hình lục giác đều cạnh bằng 2. Tính thể tích của hình tròn xoay có được khi quay hình lục giác đó quanh đường thẳng đi qua hai đỉnh đối diện của nó. A. \(2\pi \) B. \(6\pi \) C. \(\pi \) D. \(8\pi \) Spoiler: Xem đáp án Khi quay lục giác đều quanh đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện thì tạo thành hình tròn xoay mà thể tích hình đó bằng tổng thể tích khối trụ cộng hai lần thể tích khối nón. Mà ta biết lục giác đều cạnh bằng 2 được chia làm 6 tam giác đều cạnh bằng 2. Suy ra bán kính đáy khối nón và khối trụ bẳng hai lần chiều cao của tam giác đều cạnh bằng 2 nên \(r = \sqrt 3 ,\) chiều cao khối nón là bằng một nửa cạnh tam giác đều nên \({h_1} = 1\) còn chiều cao khối trụ bằng độ dài cạnh tam giác đều nên \({h_2} = 2.\) Nên thể tích khối tròn xoay là \(V = \frac{1}{3}\pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.1 + \pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.2 = 9 = 8\pi \)
Câu 150: Một cái bồn chứa xăng gồm hai nữa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên. Các kích thước được ghi (cùng đơn vị dm). Tính thể tích của bồn chứa. A. \(\pi {4^5}{.3^2}\) B. \(\pi {4^2}{.3^5}\) C. \(\pi \frac{{{4^2}}}{{{3^5}}}\) D. \(\pi \frac{{{4^5}}}{{{3^2}}}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy hình trụ bằng bán kính khối cầu: \(R = 9\) Thể tích khối trụ \({V_1} = \pi {R^2}.h = \pi {.9^2}.36 = 2916\pi \left( {d{m^3}} \right)\) Thể tích khối cầu \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.9^3} = 972\pi \left( {d{m^3}} \right)\) Thể tích bồn chứa là \(V = {V_1} + {V_2} = 3888\pi = \pi {.4^2}{.3^5}.\)
