Câu 151: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right),OO' = R\sqrt 3 .\) Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn \(\left( {O;R} \right).\) Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.\) A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \sqrt 3 \) C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 3\) D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{1}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có diện tích xung quanh hình trụ \({S_1} = 2\pi Rh = 2\sqrt 3 {R^2}\) Độ dài đường sinh hình nón \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} = 2R \Rightarrow {S_2} = \pi Rl = 2\pi {R^2}\) Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 \pi {R^2}}}{{2\pi {R^2}}} = \sqrt 3 .\)
Câu 152: Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và D) có độ dài các cạnh là AD=a, AB=5a, CD=2a. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay quanh hình thang trên quanh trục AB. A. \(V = 5\pi {a^3}.\) B. \(V = \frac{5}{3}\pi {a^3}.\) C. \(V = 3\pi {a^3}.\) D. \(V = \frac{{11}}{3}\pi {a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Suy ra: ADCH là hình chữ nhật \( \Rightarrow AH = 2a,BH = 3a.\) Khi quay hình thang ABCD quanh trục AB, ta được: + Khối trụ thể tích \(V{}_1,\) có chiều cao \({h_1} = AH = 2a.\) bán kính đường tròn đáy \({r_1} = AD = a \Rightarrow {V_1} = 2\pi {a^3}.\) + Khối nón thể tích \(V{}_2,\) có chiều cao \({h_2} = BH = 3a.\) bán kính đường tròn đáy \({r_1} = CH = a \Rightarrow {V_2} = \pi {a^3}.\) Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = {V_1} + {V_2} = 3\pi {a^3}.\)
Câu 153: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a. Biết \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0}\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng \(\frac{{2a}}{3}.\) Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(S = 6\pi {a^2}.\) B. \(S = 4\pi {a^2}.\) C. \(S = 9\pi {a^2}.\) D. \(S = 8\pi {a^2}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của SA, H là trung điểm của BC Do \(\widehat {SBA} = {90^0} \Rightarrow IS = IA = IB\) và \(\widehat {SCA} = {90^0} \Rightarrow IA = IS = IC\) \( \Rightarrow IA = IB = IC = IS \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi M là trung điểm của \(AB \Rightarrow MH//AC,MI//SB\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot MH\\AB \bot MI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (MIH) \Rightarrow AB \bot IH(1)\) Mà IB=IC và H là trung điểm của \(BC \Rightarrow IH \bot BC(2)\) Từ (1),(2) suy ra \(IH \bot (ABC)\) Dựng hình bình hành \(ABCD \Rightarrow AD//BC\) \( \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = d\left( {BC,(SAD)} \right) = d\left( {H,(SAD)} \right)\) Kẻ \(HE \bot AD,HF \bot IE\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot HE\\AD \bot IH\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (IHE)\) \( \Rightarrow AD \bot HF\) mà \(HF \bot IE \Rightarrow HF \bot (SAD) \Rightarrow HF = d\left( {H,(SAD)} \right) = \frac{{2a}}{3}\) Ta có \(\frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} + \frac{1}{{H{E^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{H{F^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow HI = a\) Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 5 \Rightarrow HB = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow R = IB = \sqrt {I{H^2} + H{B^2}} = \frac{{3a}}{2}\) Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = 9\pi {a^2}.\)
Câu 154: Hình nón có chiều cao \(10\sqrt 3 cm,\) góc giữa một đường sinh với mặt đáy bằng \({60^0}.\) Tính diện tích xung quanh S của hình nón. A. \(S = 50\sqrt 3 \pi c{m^2}.\) B. \(S = 200\pi c{m^2}.\) C. \(S = 100\pi c{m^2}.\) D. \(S = 100\sqrt 3 \pi c{m^2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(h = l\sin {60^0} = \frac{{l\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \Rightarrow l = 20 \Rightarrow r = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = 10\) Do đó \({S_{xq}} = \pi rl = 200\pi c{m^2}.\)
Câu 155: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính tỉ số \(\frac{S_1}{S_2}\). A. \(\frac{S_1}{S_2}=\frac{3}{2}\) B. \(\frac{S_1}{S_2}=1\) C. \(\frac{S_1}{S_2}=2\) D. \(\frac{S_1}{S_2}=\frac{6}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích 3 quả bóng bàn \({S_1} = 3.4\pi {r^2} = 12\pi {a^2}\) (a là bán kính của quả bóng bàn) Bán kính đáy của hình trụ là a. Chu vi đáy của hình trụ là: \(2 a \pi\) Chiều cao của hình trụ là 3.2r=6r=6a \({S_2} = 12\pi {a^2} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 1\)
Câu 156: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. SA vuông góc với mặt đáy và \(SA = 2a\sqrt 2 .\) Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. \(V = 4\pi {a^3}\sqrt 3\) B. \(V = \frac{{2\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) C. \(V = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = \pi {a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của BC ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi P là trung điểm của SB. Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của SB. Gọi I là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và (Q). Ta có I chính là tâm mặt cầu ngoài tiếp khối chóp S.ABC. Gọi N là trung điểm của AB. Ta có: PN // IM (Cùng vuông góc mặt phẳng (ABC)). Suy ra I, M, N, P đồng phẳng. Mặc khác: \(\left\{ \begin{array}{l} CA \bot SA\\ CA \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow CA \bot (SAB) \Rightarrow NM \bot (SAB) \Rightarrow NM \bot SB.\) Ta có \(PI \subset (Q)\) mà (Q) là mặt phẳng trung trục của SB nên \(SB \bot PI.\) Suy ra: NM // PI ( hai đường thẳng đồng phẳng và cùng vuông góc SB) Mà \(IM \bot (ABC) \Rightarrow IM \bot MN\) nên PIMN là hình chữ nhật. Suy ra \(IM = PN = \frac{1}{2}SA = a\sqrt 2 .\) Ta có: \(BM = \frac{1}{2}BC = a.\) Xét tam giác MBI vuông tại I ta có: \(IB = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 a.\) Vậy thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = 4\pi \sqrt 3 {a^3}.\)
Câu 157: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b. Tính diện tích xung quanh S của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đường gấp khúc AC’A’ quay xung quang trục AA’. A. \(S=\pi b^2\) B. \(S=\pi b^2\sqrt{2}\) C. \(S=\pi b^2\sqrt{3}\) D. \(S=\pi b^2\sqrt{6}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy của hình nón sẽ là \(R = A'C' = \sqrt 2 b\) Đường sinh \(l = AC' = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} + CC{'^2}} = \sqrt 3 b\) Diện tích xung quanh của khối nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi \sqrt 2 b.\sqrt 3 b = \sqrt 6 {b^2}\pi\)
Câu 158: Cho đường thẳng d2 cố định, đường thẳng d1 song song và cách d2 một khoảng cách không đổi. Khi d1 quay quanh d2 ta được: A. Hình trụ B. Mặt trụ C. Khối trụ D. Hình tròn Spoiler: Xem đáp án Cho đường thẳng d2 cố định, đường thẳng d1 song song và cách d2 một khoảng cách không đổi. Khi d1 quay quanh d2 ta được mặt trụ.
Câu 159: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo a. A. \(R = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\) B. \(R = \frac{a}{{3\sqrt 3 }}\) C. \(R = \frac{2a}{{3\sqrt 3 }}\) D. \(R = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình nón bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a. Ta có \(R = AG = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Câu 160: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat {ABC} = 120^\circ ,\) tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(R = \frac{{\sqrt {41} }}{6}a\) B. \(R = \frac{{\sqrt {37} }}{6}a\) C. \(R = \frac{{\sqrt {39} }}{6}a\) D. \(R = \frac{{\sqrt {35} }}{6}a\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH \(\perp\) AB. Lại có (SAB) \(\perp\) (ABCD) ⇒ SH \(\perp\)(ABCD) Ta có: \(\widehat {ABC} = 60^\circ\) nên tam giác ABD đều suy ra DA = DB = DC = a suy ra D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng Dt (Dt // SH) tại I khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Ta có \(DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = IG;\;SG = \frac{2}{3}SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Do đó \({R_C} = \sqrt {I{G^2} + S{G^2}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}.\)
