Câu 161: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF. A. \(\frac{{10\pi {a^3}}}{9}\) B. \(\frac{{10\pi {a^3}}}{7}\) C. \(\frac{{5\pi {a^3}}}{2}\) D. \(\frac{{\pi {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Vật thể gồm phần 1 là hình nón có chiều cao AF, bán kính EF. Phần 2 là hình trụ có bán kính đáy DC và chiều cao AD. Ta có: \(EF = AF\tan 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Thể tích phần một là: \({V_1} = \frac{1}{3}\pi E{F^2}.AF = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.a = \frac{{\pi {a^3}}}{9}\) Thế tích phần 2 là: \({V_2} = \pi .A{B^2}.AD = \pi {a^3}\) Thể tích vật thể là: \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{\pi {a^3}}}{9} + \pi {a^3} = \frac{{10\pi {a^3}}}{9}\)
Câu 162: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a, vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a. Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng bao nhiêu? A. \({S_{xq}} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\pi {a^2}}}{2}.\) B. \({S_{xq}} = \frac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\pi {a^2}}}{2}.\) C. \({S_{xq}} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\pi {a^2}}}{2}.\) D. \({S_{xq}} = \frac{{3\sqrt 2 \pi {a^2}}}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn xoay. Diện tích mặt tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH và BH. Ta có \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=a\sqrt{3}\) \(HK=\frac{AH.BH}{AB}=\frac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH là \(S_1=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{3a^2\pi }{2}\) Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh BH là \(S_2=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{\sqrt{3}a^2\pi }{2}\) Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là \(S=S_1+S_2=\frac{(3+\sqrt{3})a^2\pi }{2}\).
Câu 163: Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2 m. Trong đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40 cm, 6 cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26 cm. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000 đ/m2 (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột 10 cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? A. 14.647.000. B. 13.627.000. C. 16.459.000. D. 15.835.000. Spoiler: Xem đáp án Tổng diện tích cần phải sơn là: \({S_{xq}} = 4\left( {2\pi {r_1}h} \right) + 6\left( {2\pi {r_2}h} \right) = 4,2.2\pi .\left( {4.0,2 + 6.0,13} \right) = 41,6952\,\,{m^2}.\) Vậy số tiền chủ nhà phải chi trả để sơn 10 cây cột nhà là \(380.000 \times 41,6952 = 15.835.000\) đồng.
Câu 164: Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực OI chia khối nón thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần (Phần nhỏ trên phần lớn). A. \(\frac{1}{2}\) B. \(\frac{1}{8}\) C. \(\frac{1}{4}\) D. \(\frac{1}{7}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi r là bán kính đáy của khối nón và h là chiều cao của khối nón Khối nón ban đầu có thể tích là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\) Khối nón sau khi bị cắt có thể tích là \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {r_1}^2{h_1} = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{r}{2}} \right)^2}.\frac{h}{2} = \frac{1}{8}\left( {\frac{1}{3}\pi {r^2}h} \right) = \frac{V}{8}\) Vậy tỉ số thể tích của hai phần khi bị cắt là \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{V_1}}}{{V - {V_1}}} = \frac{{{V_1}}}{{8{V_1} - {V_1}}} = \frac{1}{7}.\)
Câu 165: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 3, chiều cao bằng \(6\sqrt{3}.\) Tính diện tích toàn phần của hình trụ. A. \({S_{tp}} = 9\pi + 36\pi \sqrt 3 .\) B. \({S_{tp}} = 18\pi + 36\pi \sqrt 3 .\) C. \({S_{tp}} = 18\pi + 18\pi \sqrt 3 .\) D. \({S_{tp}} = 6\pi + 36\pi \sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = \left( {18 + 36\sqrt 3 } \right)\pi .\)
Câu 166: Cho hình trụ có đường cao h=5cm, bán kính đáy r=3cm Xét mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ, cách trục 2 cm. Tính diện tích S của thiết diện của hình trụ với mặt phẳng (P). A. \(S = 5\sqrt 5 c{m^2}\) B. \(S = 10\sqrt 5 c{m^2}\) C. \(S = 6\sqrt 5 c{m^2}\) D. \(S = 3\sqrt 5 c{m^2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có thiết diện nhận là hình chữ nhật có độ dài 1 cạnh là a=h=5 Độ dài cạnh còn lại là \(b = AB = 2\sqrt {{r^2} - {d^2}} = 2\sqrt {{3^2} - {2^2}} = 2\sqrt 5\). Do đó \(S = 10\sqrt 5\)
Câu 167: Cho mặt cầu (S) bán kính R. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất. A. \(h = \frac{R}{2}\) B. \(h =R\) C. \(h =R\sqrt{2}\) D. \(h =\frac{R\sqrt{2}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({r^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = {R^2}\) Diện tích xung quanh của trụ \({S_{xq}} = 2\pi rh\) Lại có \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} \ge 2\sqrt {{r^2}.\frac{{{h^2}}}{4}} = rh = \frac{{{S_{xq}}}}{{2\pi }} \Rightarrow 2\pi {R^2} \ge {S_{xq}}\) Do đó \({S_{xq}}\) lớn nhất khi \(r = \frac{h}{2} \Rightarrow {R^2} = \frac{{{h^2}}}{2} \Rightarrow h = R\sqrt 2\)
Câu 168: Cho hình nón có độ dài đường sinh \(l=2a\) góc ở đỉnh của hình nón \(2\beta = {60^0}.\) Tính thể tích V của khối nón đã cho. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{2}\) C. \(V = \pi {a^3}\sqrt 3\) D. \(V = \pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Khối nón có độ dài đường sinh \(l = 2a \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \beta = \frac{r}{l}}\\ {\cos \beta = \frac{h}{l}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {r = \sin {{30}^0}.2a = a}\\ {h = \cos {{30}^0}.2a = a\sqrt 3 } \end{array}} \right.\) Vậy thể tích của khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^2}.a\sqrt 3 \Rightarrow V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Câu 169: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$ cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M,N,P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP. A. \(V = \frac{{64\sqrt 2 \pi }}{3}\) B. \(V = \frac{{125\pi }}{6}\) C. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\) D. \(V = \frac{{108\pi }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(SC \bot AM\) mặt khác \(AM\perp SB\) do đó \(AM \bot (SBC) \Rightarrow AM \bot MC.\) Như vậy \(\widehat {AMC} = {90^0}\) tương tự \(\widehat {APC} = {90^0}\) Lại có \(\widehat {ANC} = {90^0}\) Các tam giác AMC, APC, ANC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền AC. Gọi O là trung điểm của AC suy ra: OA=OM=OP=ON=OC. Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện C.MNP là trung điểm của AC suy ra \(R = \frac{{AC}}{2} = 2 \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{32}}{3}\pi\)
Câu 170: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có \(AB = AC = a,BC = a\sqrt 3\). Cạnh bên AA’=2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB’C’C. A. R=a B. \(R=a\sqrt{5}\) C. \(R=a\sqrt{3}\) D. \(R=a\sqrt{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi K là trung điểm của AA’. Đường thẳng qua O vuông góc với (ABC) cắt mặt phẳng trực của AA’ tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ và là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB’C’C. Mặt khác: \(\cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat A = {120^0}\) Ta có: \(R{ _{ABC}} = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sin {{120}^0}}} = 2a\) Do đó \(R = IA = \sqrt {O{I^2} + O{A^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 .\)
