Câu 171: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát bằng thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với các kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần tô màu làm bằng thủy tinh). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau? A. \(711,6 cm^3\) B. \(1070,8cm^3\) C. \(602,2 cm^3\) D. \(6021,3 cm^3\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của hình trụ là \({V_1} = \pi {r^2}h = \pi {.6.6^2}.13,2{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3} = 1806,39{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\) Thể tích hình cầu chứa cát là \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{13,2 - 2}}{2}} \right)^3} = 735,62{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\) Vậy lượng thủy tinh cần phải làm là \(V = {V_1} - {V_2} = 1070,77{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}.\)
Câu 172: Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a. Tính thể tích V của khối trụ đã cho. A. \(V = 4\pi {a^3}\) B. \(V = 3\pi {a^3}\) C. \(V = \pi {a^3}\) D. \(V =5 \pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi l=h là độ dài đường sinh của khối trụ. Khi đó chu vi thiết diện qua trục là \(C = 2\left( {2r + l} \right) = 2\left( {2r + h} \right) = 10a \Rightarrow h = 3a.\) Suy ra \({V_{\left( T \right)}} = \pi {R^2}h = 3\pi {a^3}.\)
Câu 173: Một hình nón có tỉ lệ giữa đường sinh và bán kính đáy bằng 2. Tìm số đo góc ở đỉnh của hình nón. A. $150^0$ B. $120^0$ C. $60^0$ D. $30^0$ Spoiler: Xem đáp án Giả sử thiết diện qua trục là tam giác ABC. Ta có \(\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{r}{l} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAH} = {30^0}\) Vậy góc ở đỉnh là \(\widehat {BAC} = 2\widehat {BAH} = {60^0}\)
Câu 174: Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đáy bằng 1. A. \({S_{xq}} = \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3}.\) B. \({S_{xq}} = \frac{{2 \sqrt 3 }}{3}.\) C. \({S_{xq}} = \frac{\pi }{3}.\) D. \({S_{xq}} = \pi \sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đường tròn đáy của hình trụ: \(R = AG = \frac{2}{3}.AD = \frac{2}{3}\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot\) Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi Rl = \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3} \cdot\)
Câu 175: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 2 cm, góc ở đỉnh bằng 600. Tính diện tích xung quanh S của hình nón. A. \(S = \pi {\rm{ }}c{m^2}.\) B. \(S =2 \pi {\rm{ }}c{m^2}.\) C. \(S =3 \pi {\rm{ }}c{m^2}.\) D. \(S =6 \pi {\rm{ }}c{m^2}.\) Spoiler: Xem đáp án Do góc ở đỉnh bằng suy ra thiết diện dọc trục của hình nón là tam giác đều Ta có \(l = 2,r = 1,h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.2 = \sqrt 3\) Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = 2\pi {\rm{ }}c{m^2}.\)
Câu 176: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều cao và bằng 2 cm. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ. A. \(S = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{ }}c{m^2}.\) B. \(S = 4\pi {\rm{ }}c{m^2}.\) C. \(S = 2\pi {\rm{ }}c{m^2}.\) D. \(S = 8\pi {\rm{ }}c{m^2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(r = l = h = 2{\rm{ }}cm\) Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi rl = 8\pi {\rm{ }}c{m^2}\)
Câu 177: Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương. A. \(S = \pi .\) B. \(S = 2\pi .\) C. \(S = 3\pi .\) D. \(S = 6\pi .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi R là bán kính của mặt cầu. Ta có \(R = \frac{1}{2}\sqrt {A'{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {A'{A^2} + A{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {A'{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2} = 3\pi .\)
Câu 178: Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất. A. Đáp án khác. B. \(R = 4\sqrt 2 .\) C. \(R = \sqrt 2 .\) D. \(R =2 \sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất. Tam giác AKM vuông tại K. Ta thấy IK=r là bán kính đáy của chóp, AI=h là chiều cao của chóp. \(I{K^2} = AI.IM \Rightarrow {r^2} = h\left( {6 - h} \right).\) \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {h^2}\left( {6 - h} \right)\,\,\,\left( {0 < h < 6} \right).\) Hình nón có thể tích lớn nhất khi \(\frac{1}{3}\pi {h^2}\left( {6 - h} \right)\) lớn nhất hay \(y = - {h^3} + 6{h^2}\) lớn nhất trên (0;6). Xét hàm số \(y = - {h^3} + 6{h^2}\) trên (0;6) \(\begin{array}{l} y' = - 3{h^2} + 12h\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} h = 0 \notin \left( {0;6} \right)\\ h = 4 \in \left( {0;6} \right) \end{array} \right. \end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi h=4. \(\Rightarrow {r^2} = 4\left( {6 - 4} \right) = 8 \Rightarrow r = 2\sqrt 2 .\)
Câu 179: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6, AC=8. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC. A. \({S_{xq}} = 160\pi.\) B. \({S_{xq}} = 80\pi.\) C. \({S_{xq}} =120\pi.\) D. \({S_{xq}} =60\pi.\) Spoiler: Xem đáp án Hình nón có đường sinh \(l = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 10,\) bán kính đáy R=AB=6. Vậy \({S_{xq}} = \pi .6.10 = 60\pi \left( {dvdt} \right)\)
Câu 180: Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp một khối lập phương có cạnh bằng a. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}.\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}8\sqrt 2 }}{3}.\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án \(R = IC = \frac{{A'C}}{2} = \frac{{\sqrt {A{C^2} + AA'} }}{2} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2} + AA{'^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Vậy \(V = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}\left( {dvtt} \right).\)
