Câu 181: Một thùng xách nước hình trụ có chiều cao 4dm, đường kính đáy 2dm. Người ta dùng các thùng này để xách nước đổ vào một cái bể hình lập phương cạnh 1,5m. Giả sử mỗi lần xách đều đầy nước trong thùng và khi đổ 100 thùng thì được 90% thể tích bể. Hỏi ban đầu số lít nước có trong bể gần với giá trị nào sau đây? A. 3038. B. 3375. C. 1257. D. 1781. Spoiler: Xem đáp án Thể tích thùng: \({V_1} = {S_1}.h = \pi {.0,1^2}.0,4 = 0,004\pi ({m^3})\) Thể tích bể hình lập phương: \(V = {1,5^3} = 3,375({m^3})\) Thể tích nước có sẵn trong bể lúc đầu: \({V_2} = 90\% .V - 100{V_1} \approx 1,781({m^3}) \approx 1781(l)\)
Câu 182: Cho hình tròn bán kính R=2. Người ta cắt bỏ đi $\frac{1}{4}$ hình tròn rồi dùng phần còn lại để dán lại tạo nên một mặt xung quanh của hình nón (H). Tính diện tích toàn phần S của hình nón (H). A. \(S = 3\pi .\) B. \(S = \left( {3 + 4\sqrt 3 } \right)\pi .\) C. \(S = \left( {3 + 3\sqrt 2 } \right)\pi .\) D. \(S = \frac{{21\pi }}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Chu vi của đường tròn đáy nón bằng \(\frac{3}{4}\) chu vi của đường tròn ban đầu nên chu vi của đường tròn đáy nón bằng \(3\pi.\) Bán kính của đường tròn đáy nón là \(r=\frac{3}{2}.\). Đường sinh của nón bằng bán kính của đường tròn ban đầu. Vậy diện tích toàn phần khối nón là \({S_{tp}} = l\pi r + \pi {r^2} = 2\pi .\frac{3}{2} + \pi {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{21}}{4}\pi .\)
Câu 183: Hình cầu có thể tích \(\frac{{8\sqrt 2 \pi }}{3}\) nội tiếp trong một hình lập phương. Tính thể tích V của khối lập phương đó. A. \(V = 16\sqrt 2 .\) B. \(V = 16\sqrt 2 \pi.\) C. \(V = 4\sqrt 2 .\) D. \(V = 8\sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi x là cạnh hình lập phương. Khi đó bán kính hình cầu là \(R = \frac{x}{2}\) Vậy: \(\frac{{8\sqrt 2 \pi }}{3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow {x^3} = 16\sqrt 2\) Vậy thể tích khối lập phương là \({x^3} = 16\sqrt 2 .\)
Câu 184: Cho hình chóp đều S.ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Quay các cạnh của hình chóp đã cho quanh trục SG. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình nón tạo thành? A. Một hình nón. B. Hai hình nón. C. Ba hình nón. D. Không có hình nón nào. Spoiler: Xem đáp án Do hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right),\) với G là trọng tâm tam giác ABC, và SA=SB=SC. Vậy khi quay các cạnh của hình chóp đã cho quanh trục SG tạo thành một hình nón có chiều cao SG, đường tròn đáy có tâm G, bán kính R=GA=GB=GC.
Câu 185: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 600. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón đỉnh S, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\) B. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt {10} }}{8}\) C. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{4}\) D. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Hình nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có: Bán kính đường tròn đáy \(r = AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Đường sinh \(l = SA = \sqrt {S{G^2} + A{G^2}} = \sqrt {{{\left( {GN\tan 60^\circ } \right)}^2} + A{G^2}}\) \(= \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{7}{{12}}} a\) Diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = \pi rl = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{6}.\)
Câu 186: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 600. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(R = \frac{a}{3}\). B. \(R = \frac{2a}{3}\). C. \(R = \frac{a \sqrt 3}{3}\). D. \(R = \frac{4a}{3}\). Spoiler: Xem đáp án Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, BC. Đường thẳng qua G vuông góc với (ABC) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt phẳng trung trực của SA qua M cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại I. Ta có I chính làm tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Ta có \(AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\); \(SG = AG.\tan 60^\circ = a.\) \(SA = \frac{{AG}}{{\cos {{60}^o}}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\) \(\Rightarrow \frac{{SM}}{{SG}} = \frac{{SI}}{{SA}} \Rightarrow R = SI = \frac{{SM.SA}}{{SG}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{S{A^2}}}{{SG}} = \frac{{2a}}{3}.\)
Câu 187: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2a, BC=3a. Gọi M, N là các điểm trên các cạnh AD, BC sao cho MA=2MD, NB=2NC. Khi quay quanh AB, các đường gấp khúc AMNB, ADCB sinh ra các hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là \(S_1\), \(S_2\). Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.\) A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{12}}{{21}}\). B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{2}}{{3}}\). C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{4}}{{9}}\). D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{8}}{{15}}\). Spoiler: Xem đáp án Hình trụ có diện tích toàn phần \(S_1\), đường sinh MN=2a và bán kính đường tròn đáy là AM=2a. Diện tích toàn phần \({S_1} = 2\pi .AM.MN + 2\pi A{M^2} = 16\pi {a^2}.\). Hình trụ có diện tích toàn phần \(S_2\), đường sinh DC=2a và bán kính đường tròn đáy là AD=3a. Diện tích toàn phần \({S_2} = 2\pi .AD.DC + 2\pi A{D^2} = 30\pi {a^2}\). Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{16}}{{30}} = \frac{8}{{15}}.\)
Câu 188: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=2a, BC=a, hình chiếu của S lên (ABCD) là trung điểm H của AD, \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? A. \(\frac{{16\pi {a^2}}}{3}\). B. \(\frac{{16\pi {a^2}}}{9}\). C. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{3}\). D. \(\frac{{4\pi {a^2}}}{3}\). Spoiler: Xem đáp án Gọi I’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD. O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD. Đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Mặt phẳng qua I’ cắt trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD tại I. Ta có I chính làm tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Dễ thấy OHI’I là hình chữ nhật. Ta có \(SD = SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}} = a\) suy ra tam giác SAD đều. \(\begin{array}{l} \Rightarrow I'A = \frac{2}{3}\frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a\\ \Rightarrow R = IA = \sqrt {I'{A^2} + I'{I^2}} = \sqrt {I'{A^2} + H{O^2}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} \end{array}\) Vậy \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{16\pi {a^2}}}{3}.\)
Câu 189: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng 600. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? A. \(\frac{{43\pi }}{{48}}\). B. \(\frac{{43\pi }}{{36}}\). C. \(\frac{{43\pi }}{{4}}\). D. \(\frac{{43\pi }}{{12}}\). Spoiler: Xem đáp án Gọi H, M lần lượt là trung điểm BC,SA. G là trọng tâm tam giác ABC. Đường thẳng qua G vuông góc với (ABC) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt phẳng trung trực của SA qua M cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại I. Ta có I chính làm tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Dễ thấy GAMI là hình chữ nhật. Ta có \(\left[ {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right] = \left( {\widehat {SH,AH}} \right) = \widehat {SHA} = 60^\circ\) Tam giác ABC đều, cạnh bằng 1\(\Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = AH\tan 60^\circ = \frac{3}{2}\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: \({R^2} = I{A^2} = I{G^2} + A{G^2} = {\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}AH} \right)^2} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{{43}}{{48}}\) Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \cdot \frac{{43}}{{48}} = \frac{{43\pi }}{{12}}\).
Câu 190: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=3a, AC=4a. Gọi M là trung điểm của AC. Khi quay quanh AB, các đường gấp khúc AMB, ACB sinh ra các hình nón có diện tích xung quanh lần lượt là $S_1$, $S_2$. Tính tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$. A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{10}}\). B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{1}}{{4}}\). C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\sqrt {2} }}{{5}}\). D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{1 }}{{2}}\). Spoiler: Xem đáp án \({S_1} = \pi {r_1}{l_1} = \pi .\frac{{AC}}{2}.\sqrt {A{B^2} + {{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2}} = 2\pi \sqrt {13}\) \({S_2} = \pi {r_2}{l_2} = \pi .AC.\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 20\pi\) Do đó: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{10}}.\)
