Câu 11: Một hộp bóng bàn hình trụ chứa được 5 quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp và tiếp xúc với nhau, quả trên cùng tiếp xúc với nắp hộp. Tỉ lệ thể tích mà 5 quả bóng chiếm so với thể tích của hộp là: A. \(\frac{2}{3}\) B. \(\frac{1}{2}\) C. \(\frac{3}{4}\) D. \(\frac{4}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi r là bán kính của 1 quả bóng. Chiều cao của hình trụ là \(h = 5.2r = 10r\) Tỉ lệ thể tích mà 5 quả bóng chiếm so với thể tích của hộp là: \(\frac{{5.\frac{4}{3}\pi {r^3}}}{{\pi {r^2}.10r}} = \frac{2}{3}.\)
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 2a,AD = a\sqrt 3 \), cạnh bên SA uông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy bằng \({30^0}\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A. \(\frac{{8\pi {a^2}}}{3}\) B. \(8\pi {a^2}\) C. \(\frac{{4\pi {a^2}}}{3}\) D. \(4\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là trung điểm của SC. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Ta có: \(AC = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\sqrt 7 ;\) \(SA = AD\tan {30^0} = a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = a\), \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 7 } \right)}^2}} = 2a\sqrt 2 \) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(R = \frac{{SC}}{2} = a\sqrt 2 \) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi {a^2}.\)
Câu 13: Cho hình thang cân ABCD có AB//CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tính thể tích V của khối tròn xoay có được khi quay hình thang ABCD quanh đường thẳng MN biết rằng \(AB = 2.CD = 4.MN;{\rm{ }}BC = a\sqrt {2.} \) A. \(\frac{{7\pi }}{3}{a^3}\) (đvtt) B. \(7\pi {a^3}\)(đvtt) C. \(\pi {a^3}\) (đvtt) D. \(\frac{{7\pi \sqrt 2 }}{3}{a^3}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Kéo dài AD và BC cắt nhau tại S. Vì ABCD là hình thang cân nên tam giác SAB là tam giác cân. \( \Rightarrow SM \bot AB,SN \bot CD \Rightarrow S,M,N\) thẳng hàng. Quay tam giác vuông SAB quanh đường thẳng MN ta được khối nón tròn xoay có đỉnh S và đáy là hình tròn tâm M bán kính MA. Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình thang ABCD quanh đường thẳng MN bằng hiệu thể tích của khối nón \({V_1}\) đỉnh S, đáy là hình tròn (M; MA) và thể tích khối nón \({V_2}\) đỉnh S, đáy là hình tròn (N; NC). Ta thấy: \(AB = 2.CD;\,\,AB//CD \Rightarrow CD\) là đường trung bình của tam giác SAB. \( \Rightarrow \) N là trung điểm của SM. Kẻ \(CH \bot AB \Rightarrow CH = MN = \frac{{AB}}{4} = \frac{{MB}}{2} \Rightarrow CH = HB\) Xét tam giác CHB vuông tại H có: \(CH = HB = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow MN = a \Rightarrow SM = 2MN = 2a;\,\,CN = NM = a;\,\,MB = 2.MN = 2a.\\{V_1} = \frac{\pi }{3}.M{B^2}.SM = \frac{{8\pi }}{3}.{a^3};{V_2} = \frac{\pi }{3}.N{C^2}.SN = \frac{\pi }{3}{a^3}.\\ \Rightarrow V = {V_1} - {V_2} = \frac{{7\pi }}{3}.{a^3}\end{array}\)
Câu 14: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh a. Gọi thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp hình nón lần lượt là \({V_1},{V_2}\) . Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\) A. 2 B. 4 C. 8 D. 27 Spoiler: Xem đáp án Gọi đỉnh hình nón là S, tâm đáy là I. Thiết diện qua trục SI của hình nón là SAB. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình nón chính là tâm của đường trong ngoại tiếp, nội tiếp tam giác SAB. Vì tam giác SAB đều nên tâm của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác SAB trùng nhau và là trọng tâm tam giác SAB. Gọi tâm khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp hình nón là O. Ta có: Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình nón là OS, bán kính khối cầu nội tiếp hình nón là OI. \( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi .S{O^3}}}{{\frac{4}{3}\pi .O{I^3}}} = {\left( {\frac{{SO}}{{OI}}} \right)^3} = {2^3} = 8.\)
Câu 15: Từ một khúc gỗ hình trụ cao 15cm, người ta tiện thành một hình nón có đáy trùng với một đáy hình trụ và đỉnh là tâm đáy còn lại của hình trụ. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(300c{m^2}\). Tính diện tích đáy của hình nón. A. 10 \((c{m^2})\) B. 20\((c{m^2})\) C. 30\((c{m^2})\) D. 40\((c{m^2})\) Spoiler: Xem đáp án Gọi thể tích khối nón là \({V_1},\) thể tích khối trụ là \({V_2}.\) Khối nón có cùng đáy và cùng đường cao với khúc gỗ hình trụ Khi đó: \({V_1} = \frac{1}{3}.{V_2}\) Phần gỗ bỏ đi có thể tích là \(300c{m^2}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_2} - {V_1} = 300 \Leftrightarrow {V_2} - \frac{1}{3}.{V_2} = 300\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3}.{V_2} = 300 \Leftrightarrow {V_2} = 450(c{m^3})\end{array}\) Diện tích đáy của khối trụ là: \(S = \frac{{{V_2}}}{h} = \frac{{450}}{{15}} = 30(c{m^2})\) Vì khối trụ và khối nón có cùng đáy nên diện tích đáy của khối nón là 30\((c{m^2})\)
Câu 16: Trong không gian cho tam giác ABC có \(\widehat A:\widehat B:\widehat C = 3:2:1,AB = 10cm\) . Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi tam giác ABC xung quanh trục AB. A. 20(cm) B. \(10\sqrt 3 \,\,(cm)\) C. 30(cm) D. 10(cm) Spoiler: Xem đáp án Tam giác ABC có: \(\frac{A}{3} = \frac{B}{2} = \frac{C}{1} = \frac{{A + B + C}}{{3 + 2 + 1}} = \frac{{{{180}^0}}}{6} = {30^0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = {90^0}\\B = {60^0}\\C = {30^0}\end{array} \right.\) Tam giác ABC vuông tại A có \(B = {60^0} \Rightarrow BC = 2.AC = 2.10 = 20(cm)\) Vậy, khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB ta được hình nón đỉnh B có đường sinh BC=20(cm).
Câu 17: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân, \(AB = AC = a\), góc giữa A’B và mặt đáy bằng \({45^0}\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCC’A’ là: A. \(\frac{a}{2}\) B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) C. \(a\) D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(BC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 ,BB' = B'A = a,A'B = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) \(BC' = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \). Ta có \(BC{'^2} = A'{B^2} + A'{C^2} \Rightarrow \Delta A'BC'\) vuông tại A’. Gọi I là trung điểm của BC’. Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCC’A’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(BCC'A'\) là: \(R = \frac{{BC'}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 18: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\), chiều cao \(h = \sqrt 3 R\). Đoạn thẳng AB có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là \(\alpha = {30^0}\). Thể tích khối tứ diện ABOO’ là: A. \(\frac{{3{R^3}}}{2}\) B. \(\frac{{3{R^3}}}{4}\) C. \(\frac{{{R^3}}}{2}\) D. \(\frac{{{R^3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({S_{AOO'}} = \frac{1}{2}R.R\sqrt 3 = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\) Gọi H là hình chiếu của A lên (O’), K là hình chiếu của B lên O’H Ta có \(BH = AH\tan \widehat {HAB} = AH\tan {30^0} = \sqrt 3 R.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = R\Delta O'BH\) đều \( \Rightarrow BK = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\) Thể tích khối tứ diện ABOO’ là: \(V = \frac{1}{3}BK.{S_{OAO'}} = \frac{1}{3}.\frac{{R\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{R^3}}}{4}.\)
Câu 19: Để làm một hộp hình trụ có nắp, bằng tôn và có thể tích \(V = 2\pi {m^3}\), cần có ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn? A. \(2\pi \)\({m^2}\) B. \(4\pi \)\({m^2}\) C. \(6\pi \)\({m^2}\) D. \(8\pi \)\({m^2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Ta có \(V = \pi {r^2}h = 2\pi \Leftrightarrow h = \frac{2}{{{r^2}}}\) Diện tích tôn là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r.\frac{2}{{{r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{4\pi }}{r} = 2\pi {r^2} + \frac{{2\pi }}{r} + \frac{{2\pi }}{r} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {r^2}.\frac{{2\pi }}{r}.\frac{{2\pi }}{r}}} = 6\pi .\)
Câu 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ tâm của đáy đến một mặt bên bằng \(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}.\) Tính diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của hình nón có đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. A. \({S_{tp}} = \frac{{\pi \left( {3 - \sqrt 2 } \right){a^2}}}{2}.\) B. \({S_{tp}} = \frac{{\pi \left( {3 + \sqrt 2 } \right){a^2}}}{2}.\) C. \({S_{tp}} = \frac{{\pi \left( {2 + \sqrt 3 } \right){a^2}}}{2}.\) D. \({S_{tp}} = \frac{{\pi \left( {1 + \sqrt 3 } \right){a^2}}}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Dựng \(\left\{ \begin{array}{l}OE \bot CD\\OF \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow OF \bot \left( {SCD} \right).\) Ta có: \(\frac{1}{{O{F^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow SO = a\) \( \Rightarrow {l_N} = SD = \sqrt {S{O^2} + O{D^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}.\) \({R_d} = OD = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {S_{tp}} = \pi {r^2} + \pi rl = \frac{{\pi \left( {1 + \sqrt 3 } \right){a^2}}}{2}.\)
