Câu 191: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{32}}{3}\pi {a^3}\). B. \(V = \frac{{4}}{3}\pi {a^3}\). C. \(V =4\pi {a^3}\). D. \(V = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}\). Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy SAC, SAC, SDC là các tam giác vuông nhận SC làm cạnh huyền, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là trung điểm của SC. Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD là: \(R = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = a.\) Thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {a^3}\).
Câu 192: Một hình nón có chiều cao bằng \(a \sqrt 3\) và bán kính đáy bằng a. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón. A. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2}\). B. \({S_{xq}} = \sqrt 3\pi {a^2}\). C. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\). D. \({S_{xq}} = 2 {a^2}\). Spoiler: Xem đáp án Đường sinh: \(I = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = 2a\). Diện tích xung quanh là \({S_{xq}} = \pi rl = 2\pi {a^2}.\)
Câu 193: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O’ có bán kính R và chiều cao \(R\sqrt 2 .\) Mặt phẳng (P) đi qua OO’ và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu? A. \(\sqrt 2 {R^2}\). B. \(2\sqrt 2 {R^2}\). C. \(4 \sqrt 2 {R^2}\). D. \(2 {R^2}\). Spoiler: Xem đáp án Giả sử ABCD là thiết diện của (P) với hình trụ. Do (P) đi qua OO’ nên ABCD là hình chữ nhật. \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2R.R\sqrt 2 = 2\sqrt 2 {R^2}\)
Câu 194: Trong không gian, cho tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, gọi I là trung điểm của BC, BC=2. Tính diện tích xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AI. A. \({S_{xq}} = \sqrt 2 \pi .\) B. \({S_{xq}} =2 \pi .\) C. \({S_{xq}} = 2\sqrt 2 \pi .\) D. \({S_{xq}} = 4 \pi .\) Spoiler: Xem đáp án Hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AI có bán kính IB và đường sinh AB. ABC vuông cân tại A nên: \(AI = BI = 1cm\) và \(AB = AI.\sqrt 2 = \sqrt 2\) \({S_{xq}} = \pi .r.l = \pi .1.\sqrt 2 = \sqrt 2 \pi .\)
Câu 195: Ông Bình muốn thiết kế mái cho một xưởng may có diện tích 20000 m2 có hai đồ án như sau: - Công ty A thiết kế dạng hình vuông với mái là hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 70m. - Công ty B thiết kế dạng hình tròn với mái là nửa mặt cầu úp xuống. Hỏi thiết kế của công ty A giúp tiết kiệm diện tích mái hơn bao nhiêu m2? A. $11857 (m^2)$ B. $20000 (m^2)$ C. $9268 (m^2)$ D. $5000 (m^2)$ Spoiler: Xem đáp án Phương án A: Hình chóp tứ giác đều Diện tich đáy 20000 m2 suy ra độ dài cạnh đáy là: \(AB = \sqrt {20000} = 100\sqrt 2 .\) Chiều cao của mặt bên là: \(SF = \sqrt {S{O^2} + O{F^2}} = \sqrt {{h^2} + {{\left( {50\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {4900 + 5000} = 30\sqrt {11} \,\left( {h = 70} \right)\) Phương án B: Mặt cầu: Diện tích hình tròn lớn bằng: \(20000\,\,{m^2} \Rightarrow \pi {R^2} = 20000 \Rightarrow R = \sqrt {\frac{{20000}}{\pi }} .\) \({S_{mat}} = 2\pi {R^2} = 2\pi \frac{{20000}}{\pi } = 40000{m^2}.\) Kết luận: Vậy phương án A giúp tiết kiện diện tích mái hơn: \(40000{m^2} - 6000\sqrt {22} {m^2} = 11857\,{m^2}.\)
Câu 196: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và cạnh đáy là 600. Hỏi diện tích S của mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với các cạnh bên bằng bao nhiêu? (O là tâm mặt đáy). A. \(S = \frac{{2\pi {a^2}}}{3}\) B. \(S = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(S = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\) D. \(S = \pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\widehat {SAO} = {60^0}\) (Góc giữa cạnh bên SA và đáy (ABC)) \(\Rightarrow SO = AO.\tan SAO = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\tan {60^0} = a\) \(\Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}}\) Bán kính mặt cầu (S) là \(R = OH = \frac{a}{2}.\) Vậy diện tích mặt cầu (S) là: \({S_C} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}.\)
Câu 197: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=3a, AB=4a. Cho tam giác này quay quanh đường thẳng BC, tính thể tích V của khối tròn xoay thu được. A. \(V = \frac{{84\pi {a^2}}}{{15}}\) B. \(V = \frac{{120\pi {a^2}}}{{27}}\) C. \(V = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}\) D. \(V = \frac{{84\pi {a^2}}}{{25}}\) Spoiler: Xem đáp án Kẻ đường cao AH của ∆ABC khi quay quanh đường thẳng BC miền tam giác ABC sinh ra hai khối nón chung đáy, bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC. Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\) Suy ra \(A{H^2} = \frac{{25}}{{144{a^2}}}.\) Thể tích khối tròn xoay sinh ra là: \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.\left( {HB + HC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{{144{a^2}}}{{25}}.5a = \frac{{144\pi {a^2}}}{{15}}.\) \(\left( {HB + HC = BC = 5a} \right).\)
Câu 198: Tính thể tích V của khối nón ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{9}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trọng tâm tam giác ACD ta có: \(AH \bot (BCD).\) Đáy hình nón là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều nên bán kính \(r = BH = \frac{2}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) Chiều cao của khối nón là \(h = AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\) Vậy thể tích cần tìm là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}.\)
Câu 199: Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng 0,5 cm, chiều dài 6 cm. Người ta làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước \(6cm \times 5cm \times 6cm.\) Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp viên phấn? A. 17 B. 15 C. 16 D. 18 Spoiler: Xem đáp án Chiều dài viên phấn bằng với chiều dài của hình hộp carton bằng 6cm. Đường kính đáy của viên phấn hình trụ là d = 1cm. Để hộp chứ được nhiều viên phấn nhất ta phải xếp các viên phấn theo chiều thẳng đứng và hộp với đáy hộp có chiều rộng bằng 5 cm, chiều dài 6 cm, chiều cao 6 cm. Khi đó hộp chứa được 5.6=30 viên phấn. Vậy số hộp phấn cần để xếp 460 viên phấn là 16 hộp.
Câu 200: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB=1, AD=2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S của hình trụ đó? A. \(S = 10\pi .\) B. \(S = 4\pi .\) C. \(S = 2\pi .\) D. \(S = 6\pi .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Khi quay hình chữ nhật xung quanh trục MN ta được hình trụ: + Bán kính đường tròn đáy là \(r = AM = \frac{{AD}}{2} = 1.\) + Chiều cao của hình trụ là \(h = AB = 1.\) Diện tích toàn phần của hình trụ là \({S_{tp}} = 2\pi r(r + h) = 4\pi .\)
