Câu 201: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao \(SO = a,\,\widehat {SAB} = {45^0}\). Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(R = \frac{{3a}}{4}.\) B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(R = \frac{{3a}}{2}.\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác SAB cân tại S có \(\widehat {SAB} = {45^o} \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại S. Suy ra \(SA\perp SB\) mà \(\Delta SAB = \Delta SBC = \Delta SAC \Rightarrow SA,SB,SC\) đôi một vuông góc với nhau. Khi đó \(\frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}\) mà \(SA = SB = SC = x \Rightarrow x = a\sqrt 3\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là \(R = \frac{{\sqrt {S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}} }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)
Câu 202: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh \(SA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\) Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(R = \frac{{a\sqrt {39} }}{7}.\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {35} }}{7}.\) C. \(R = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}.\) D. \(R = \frac{{a\sqrt {29} }}{6}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì \(SG \bot \left( {ABC} \right).\) Do CB=CA=CD nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Gọi \(I \in d\) là tâm mặt cầu cần tìm, đặt: \(IC = x \Rightarrow SK = \left| {SG - x} \right|.\) Kẻ \(IK \bot SG\) \(\Rightarrow IK = CG = AG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},{\rm{ }}SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = a.\) Ta có \(IS = ID \Leftrightarrow I{K^2} + S{K^2} = I{C^2} + C{D^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{3} + {\left( {a - x} \right)^2} = {x^2} + {a^2} \Rightarrow x = \frac{a}{6}.\) Vậy tâm mặt cầu I được xác định, bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{x^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}.\)
Câu 203: Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5 cm bà bán kính đường tròn đáy là 4 cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước? A. 280 ngày B. 281 ngày C. 282 ngày D. 283 ngày Spoiler: Xem đáp án Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là \(V = 2.3.2 = 12\left( {{m^3}} \right).\) Thể tích nước đựng đầy trong gáo là \({V_g} = \pi {4^2}.5 = 80\pi \left( {c{m^3}} \right) = \frac{\pi }{{12500}}\left( {{m^3}} \right).\) Mội ngày bể được múc ra 170 gáo nước tức trong một ngày lượng được được lấy ra bằng: \({V_m} = 170.{V_g} = \frac{{17}}{{1250}}\pi \left( {{m^3}} \right)\) Ta có: \(\frac{V}{{{V_m}}} = \frac{{12}}{{\frac{{17}}{{1250}}\pi }} \simeq 280,8616643 \Rightarrow\) sau 281 ngày bể sẽ hết nước.
Câu 204: Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính độ dài đường cao h của hình nón. A. \(h = \frac{a}{4}.\) B. \(h = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a.\) C. \(h = \frac{a}{2}.\) D. \(h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\) Spoiler: Xem đáp án Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều nên nó có chiều dài đường sinh là a bán kính đường tròn đáy là \(\frac{a}{2}\) nên chiều cao \(h = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\)
Câu 205: Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối chóp. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi hình chóp tam giác đó là S.ABC kẻ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) tại H. Gọi A', B', C' lần lượt là chân đường cao hạ từ H xuống BC, CA, AB. Xét \(\Delta SHA',{\rm{ }}\Delta SHB',{\rm{ }}\Delta SHC'\) đều vuông tại H có SH chung \(\widehat {SB'H} = \widehat {SC'H} = \widehat {SA'H} = {60^0} \Rightarrow \widehat {HSC'} = \widehat {HSA'} = \widehat {HSB'}\) \(\Rightarrow \Delta SHA' = \Delta SHB' = \Delta SHC'{\rm{ }}\left( {g - g - g} \right) \Rightarrow HA' = HB' = HC'.\) Do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tam giác ABC đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{AB + BC + CA}}{2}.HA'\) \(\Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{3a}}{2}HA' \Rightarrow HA' = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a.\) Tam giác SHA' vuông tại H và \(\widehat {HA'S} = {60^0} \Rightarrow SH = HA'.\tan 60 = \frac{a}{2}.\) Thể tích \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{{24}}{a^3}.\)
Câu 206: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = a, OB = 2a, OC = 3a. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC. A. \(S = 11\pi {a^2}\) B. \(S = 14\pi {a^2}\) C. \(S = 12\pi {a^2}\) D. \(S = 10\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA= a, OB=b, OC=c thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là \(R = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\) Với \(OA = a,OB = 2a,OC = 3a \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt {14} }}{2} \Rightarrow\) diện tích mặt cầu cần tính là \(S = 4\pi {R^2} = 14\pi {a^2}\)
Câu 207: Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính thể tích V của khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay xung quanh trục AH. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) Spoiler: Xem đáp án Khi quay tam giác ABC quanh trục AH ta được khối nón có bán kính \(r = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) Và chiều cao của khối nón là \(h = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Vậy thể tích khối nón cần tính là \(V = \frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
Câu 208: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có diện tích S. Hãy tính thể tích V của khối nón đã cho theo S. A. \(V = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\pi {(\sqrt S )^3}\) B. \(V = \frac{2}{3}\pi {(\sqrt S )^3}\) C. \(V = \frac{2}{3}\pi {(\sqrt S )^3}\) D. \(V = \frac{1}{3}\pi {(\sqrt S )^3}\) Spoiler: Xem đáp án Thiết diện qua trục là tam giác ABC vuông cân tại A có: \(S = \frac{1}{2}.A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {2S} \Rightarrow BC = 2\sqrt S\) Bán kính đường tròn đáy của khối nón là \(r = \frac{{BC}}{2} = \sqrt S\) và chiều cao của khối nón là \(h = \frac{{BC}}{2} = \sqrt S\) Vậy thể tích của khối nón cần tính là \(V = \frac{1}{3}.\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {(\sqrt S )^2}.\sqrt S = \frac{1}{3}\pi {(\sqrt S )^3}.\)
Câu 209: Khi tiến hành quay một tam giác vuông quanh trục lần lượt là 2 cạnh góc vuông, ta thu được 2 khối nón có thể tích là \(\frac{{8\pi \sqrt 3 }}{3}(d{m^3})\) và \(8\pi (d{m^3})\) . Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đã cho. A. 3(dm) B. 4 (dm) C. \(3\sqrt{2}(dm)\) D. \(2\sqrt{2}(dm)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi a, b lần lượt là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đã cho. Khi đó \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {a^2}b = \frac{{8\pi \sqrt 3 }}{3};{V_2} = \frac{1}{3}\pi a{b^2} = 8\pi \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2}b = 8\sqrt 3 }\\ {a{b^2} = 24} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2}b = 8\sqrt 3 }\\ {\frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = a\sqrt 3 }\\ {{a^3} = 8} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b = 2\sqrt 3 } \end{array} \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 4} \right..\)
Câu 210: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \(BC=2a\) . SA vuông góc (ABC) và \(SA = 2a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. \(V = 4\pi {a^3}\sqrt 3\) B. \(V = \frac{{2\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) C. \(V=\frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V=\pi {a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ;AM = \frac{{BC}}{2} = a\) Gọi M là trung điểm của BC, dựng đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại O Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối cầu ngoại tiếp hình chóp. Ta có: \(R = OA = \sqrt {O{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3\) \(\Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4\pi {a^3}\sqrt 3 .\)
