Câu 211: Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(2a\sqrt 2\), thiết diện qua trục là một hình chữ nhật ABCD với $AD=2AB$. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ. A. \(S = 6\pi {a^2}\) B. \(S = 24\pi {a^2}\) C. \(S = \frac{4}{3}\pi {a^2}\) D. \(S = 64\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Theo giả thuyết của đề bài ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB = 2r}\\ {AD = h} \end{array} \Rightarrow h = AD = 2AB = 4r = 8a\sqrt 2 \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi rh = 64\pi {a^2}} \right..\)
Câu 212: Cho khối trụ có thể tích \(V = 2\pi \left( {{m^3}} \right)\) và chiều cao bằng đường kính mặt đáy. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình trụ đó. A. \(\sqrt{2}\) B. \(2\sqrt{2}\) C. \(8\pi\) D. \(2\pi\) Spoiler: Xem đáp án Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính mặt đáy của hình trụ. Ta có \(V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2}.h = 2\pi \Rightarrow h = 2 \Rightarrow 2r = 2\) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối trụ thì I chính là giao điểm của OO’ và AB hay O là trung điểm của AB. Suy ra đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là \(d = AB' = \sqrt {BB{'^2} + A{B^2}} = \sqrt {{h^2} + 4{r^2}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow R = \sqrt 2\) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là \(S = 4\pi {R^2} = 8\pi .\) /SPOILER]
Câu 213: Hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 1200 và có cạnh bên bằng a. Tính diện tích xung quanh S của hình nón. A. \(S = \pi {a^3}\sqrt 3\) B. \(S = \frac{{\pi {a^3}}}{2}\) C. \(S = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) D. \(S = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} R = DC = AC\sin {60^0} = a\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ {S_{xq}} = \pi Rl = \pi \frac{{\sqrt 3 }}{2}.a.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2} \end{array}\)
Câu 214: Cho khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân và đường sinh có độ dài bằng a. Tính thể tích V của khối nón. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{{12}}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AC = AB = a \Rightarrow BC = a\sqrt 2\) \(DC = r = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}\pi {a^3}\)
Câu 215: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh \(a = 3cm,SC = 2cm\) và SC vuông góc với đáy. Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. R=4 cm B. R=3 cm C. R=1 cm D. R=2 cm Spoiler: Xem đáp án Gọi J là trọng tam tam giác ABC, suy ra I cũng là tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC. Gọi d1 là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra d1 qua J và vuông góc (ABC). Gọi L là trung điểm của SB, suy ra L là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC vuông tại C. Gọi d2 là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra d2 qua L và vuông góc (SBC). Tâm mặt cầu ngoài tiếp hình chóp S.ABC chính là giao điểm của d1 và d2 Ta có IJKL là hình chữ nhật nên \(JK = IL = \frac{{SC}}{2} = 1.\) Xét tam giác AJK vuông tại J: \(AK = \sqrt {K{J^2} + A{J^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{2}{3}.3.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = 2\,\,cm\) Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \(R = AK = 2.\)
Câu 216: Gọi \(V_1\) là thể tích giữa khối lập phương và \(V_2\) là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\) A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{3\pi }}{{2\sqrt 3 }}.\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{3}.\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{{\pi \sqrt 2 }}.\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{3\pi }}.\) Spoiler: Xem đáp án Không mất tính tổng quát gọi độ dài cạnh của khối lập phương bằng 1, khi đó bán kính khối cầu ngoại tiếp khối lập phương là \(R = \frac{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Suy ra \({V_1} = 1;{\rm{ }}{V_2} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{3\pi }}.\)
Câu 217: Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5 cm, chiều dài lăn là 23 cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích bao nhiêu? A. \(1725\pi \,\,(c{m^2}).\) B. \(3450\pi \,\,(c{m^2}).\) C. \(1752\pi \,\,(c{m^2}).\) D. \(862,5\pi \,\,(c{m^2}).\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích xung quanh của mặt trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rl = 2\pi .5.23 = 230\pi \,\,c{m^2}.\) Sau khi lăn 15 vòng thì diện tích phần sơn được là: \(S= 230\pi .15 = 3450\pi \,\,c{m^2}.\)
Câu 218: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $9\pi$. Tính chiều cao h của hình nón. A. \(h = 3\sqrt 3 .\) B. \(h = \sqrt 3 .\) C. \(h =\frac{ \sqrt 3}{2} .\) D. \(h =\frac{ \sqrt 3}{3} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(l = 2R\) và \(S = 9\pi \Leftrightarrow \pi {R^2} = 9 \Leftrightarrow R = 3\) \(\Rightarrow h = AO = \sqrt {{6^2} - {3^2}} = 3\sqrt 3\) Suy ra \(h = AO = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = 3.\)
Câu 219: Ống nghiệm hình trụ có bán kính đáy là R=1cm và chiều cao h=10cm chứa được lượng mẫu tối đa (làm tròn đến một chữ số thấp phân) là bao nhiêu? A. 10 cc B. 20 cc C. 31,4 cc D. 10,5 cc Spoiler: Xem đáp án Thể tích ống nghiệm là: \(V = S.h = \pi {r^2}h = \pi .{l^2}.10 = 31,4\,\,c{m^3} = 31,4\,\,cc.\)
Câu 220: Cho hình trụ có bán kính đáy là R, độ dài đường cao là h. Đường kính MN của đáy dưới vuông góc với đường kính PQ đáy trên. Tính thể tích V của khối tứ diện MNPQ. A. \(V = \frac{2}{3}{R^2}h\) B. \(V = \frac{1}{6}{R^2}h\) C. \(V = \frac{1}{3}{R^2}h\) D. \(V = 2{R^2}h\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O và O’ lần lượt là tâm hai đáy của hình trụ, ta có: \(PQ \bot (O'MN).\) Do O’ là trung điểm của PQ nên \(d(Q,(O'MN)) = d(P,(O'MN)) \Rightarrow {V_{Q.O'MN}} = {V_{P.O'MN}}\) Khi đó thể tích tứ diện MNPQ là: \(V = 2{V_{P.O'MN}} = 2.\frac{1}{3}.O'Q.{S_{O'MN}} = \frac{2}{3}{R^2}h.\)
