Câu 221: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’). Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là \(a^3\) tính thể tích V của khối trụ đã cho? A. \(V = 2{a^3}\) B. \(V = 4{a^3}\) C. \(V = 6{a^3}\) D. \(V = 3{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích khối nón: \({V_1} = \frac{1}{3}S.h = {a^3}.\) Công thức tính thể tích khối trụ: \(V = S.h = 3{V_1} = 3{a^3}.\)
Câu 222: Tính thể tích V của khối nón tròn xoay có đường cao h=15cm và đường sinh l=25cm A. \(V = 2000\pi \left( {c{m^3}} \right)\) B. \(V = 240\pi \left( {c{m^3}} \right)\) C. \(V = 500\pi \left( {c{m^3}} \right)\) D. \(V = 1500\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy của hình nón là \(r = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{{25}^2} - {{15}^2}} = 20.\) Thể tích khối tròn xoay là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.20^2}.15 = 2000\pi .\)
Câu 223: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích xung quanh S của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC? A. \(S = \frac{{5\pi {a^2}}}{3}\) B. \(S = \frac{{5\pi {a^2}}}{6}\) C. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{3}\) D. \(S = \frac{{5\pi {a^2}}}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi D là trung điểm AB. L và M lần lượt là tâm của tam giác đều SAB và ABC. Từ M và L dựng đường thẳng vuông góc với (SAB) và (ABC) cắt nhau tại I. I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Do CD vuông góc với (SA) nên CD // IM . Tương tự AD song song với IL nên tứ giấc MILD là hình bình hành. Suy ra: \(IM = DL = \frac{1}{3}CD = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\) Xét tam giác IMS vuông tại M có: \(IS = \sqrt {I{M^2} + M{S^2}} = \sqrt {\frac{5}{{12}}} a.\) \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \frac{5}{{12}}{a^2} = \frac{{5\pi {a^2}}}{3}.\)
Câu 224: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \(AB = a;AD = 2a\) và \(AA' = 3a.\) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’. A. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’ chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Ta có: \(AC' = \sqrt {A{C^2} + AA{'^2}} = \sqrt {A{C^2} + C{B^2} + AA{'^2}}\) \(= \sqrt {a + {{\left( {2a} \right)}^2} + \left( {3{a^2}} \right)} = a\sqrt {14} .\) Suy ra: \(R = OC' = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}.\)
Câu 225: Tính thể tích V của khối nón có góc ở đỉnh là \(90^0\) và bán kính hình tròn đáy bằng a? A. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{2}\) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AC = 2r = 2a\) Xét tam giác SAC vuông tại S và có AC=2a Suy ra trung tuyến SO=a (đồng thời là đường cao) \(V = \frac{1}{3}hS = \frac{1}{3}a.\pi {a^2} = \frac{1}{3}\pi {a^3}.\)
Câu 226: Cho mặt cầu có diện tích bằng \(\frac{{8\pi {a^2}}}{3}.\) Tìm bán kính R của mặt cầu. A. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính mặt cầu cần tính là \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{8\pi {a^2}}}{3} \Leftrightarrow {R^2} = \frac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Câu 227: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của nó. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(9V_1=8V_2\) B. \(3V_1=2V_2\) C. \(16V_1=9V_2\) D. \(27V_1=8V_2\) Spoiler: Xem đáp án Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là 2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r. Gọi O là tâm của quả bóng bàn, khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng \(\frac{h}{2}\) Bán kính đường tròn đáy hình trụ là \(AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \frac{{h\sqrt 3 }}{2}.\) Thể tích của quả bóng bàn là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {h^3} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}.\) Thể tích của chiếc chén là: \({V_2} = \pi {r^2}{h_c} = \pi {\left( {\frac{{h\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}.2h = \frac{{3\pi {h^3}}}{2}.\) Vậy tỉ số \({V_1}:{V_2} = \frac{{4\pi {h^3}}}{3}:\frac{{3\pi {h^3}}}{2} = \frac{4}{3}.\frac{2}{3} = \frac{8}{9} \Rightarrow 9{V_1} = 8{V_2}.\)
Câu 228: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính diện tích xung quanh S của hình nón. A. \(S=24a \pi^2\) B. \(S=20a \pi^2\) C. \(S=40a \pi^2\) D. \(S=12a \pi^2\) Spoiler: Xem đáp án Độ dài đường sinh của khối nón là \(l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = 5a.\) Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .4a.5a = 20\pi {a^2}.\)
Câu 229: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp. A. 65,09% B. 47,64% C. 82,55% D. 83,3% Spoiler: Xem đáp án Gọi bán kính quả bóng bàn là r. Gọi hình hộp chữ nhật chứa ba quả bóng bàn là ABCD.A’B’C’D’. Với ABCD là hình vuông, khi đó AA' = 6r và AB = 2r Thể tích của ba quả bóng bàn là \(\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.{S_{ABCD}} = 6r.4{r^2} = 24{r^3}\) \({V_{bb}} = 3.\frac{4}{3}\pi {r^3} \Rightarrow {V_{kg}} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_{bb}} = \left( {24 - 3.\frac{4}{3}\pi } \right){r^3}\) Khi đó, thể tích phần không gian trống trong hộp chiếm:\(\frac{{{V_{kg}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{\left( {24 - 3.\frac{4}{3}\pi } \right)}}{{24}} = 47,64\% .\)
Câu 230: Cho hình trụ có bán kính đáy 5cm chiều cao 4cm. Tính diện tích toàn phần S của hình trụ này. A. \(S = 96\pi \left( {c{m^2}} \right)\) B. \(S = 92\pi \left( {c{m^2}} \right)\) C. \(S = 40\pi \left( {c{m^2}} \right)\) D. \(S = 90\pi \left( {c{m^2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích toàn phần của hình trụ là \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi r\left( {r + h} \right) = 90\pi c{m^2}.\)
