Câu 231: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có \(AB=AD=2a, AA' = 3\sqrt 2 a.\) Tính điện tích toàn phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho. A. \(S=16 \pi a^2\) B. \(S=20 \pi a^2\) C. \(S=7 \pi a^2\) D. \(S=12 \pi a^2\) Spoiler: Xem đáp án Hình trụ có bán kính đáy: \(AI = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2\) Diện tích toàn phần của hình trụ là: \(S = {S_{xq}} + 2.{S_{day}} = 2\pi \sqrt 2 a.3\sqrt 2 a + 2\pi {(\sqrt 2 a)^2} = 16\pi {a^2}.\)
Câu 232: Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt \(\widehat {CAB} = \alpha\) và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm \(\alpha\) sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. A. \(\alpha =45^0\) B. \(\alpha =30^0\) C. \(\alpha =arctan\frac{1}{\sqrt{2}}\) D. \(\alpha =60^0\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{CH}}{{HB}} \Rightarrow C{H^2} = AH.HB\\ V = \frac{1}{3}\pi .AH.C{H^2} = \frac{1}{3}\pi .AH.AH.HB \end{array}\) \(\begin{array}{l} Max(AH.AH.HB) = Max(x.x.(2R - x))\\ \Leftrightarrow Max\frac{{AH}}{2}.\frac{{AH}}{2}.HB = Max\left( {\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\left( {2R - x} \right)} \right) \end{array}\) Tổng ba số bằng 2R, tích 3 số lớn nhất khi: \(\frac{x}{2} = 2R - x \Leftrightarrow \frac{3}{2}x = 2R \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}R\) \(\begin{array}{l} AH = \frac{4}{3}R\\ HB = \frac{2}{3}R\\ \Rightarrow C{H^2} = \frac{4}{3}R.\frac{2}{3}R \Rightarrow CH = \frac{{2R\sqrt 2 }}{3} \end{array}\) \(\tan \alpha = \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 233: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, cạnh bên SC=2a và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(R = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\) B. \(R = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\) C. \(R = 2a\) D. \(R = 3a\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC. Trong mp(SCM), dựng đường thẳng d đi qua G và song song với SC. Ta có: \(SC \bot (ABC) \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)\) do đó d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng (SCM) kẻ đường trung trực \(\Delta\) của SC: \(\Delta \cap d=O\) \(\left\{ \begin{array}{l} O \in d\\ O \in \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} OA = OB = OC\\ OS = OC \end{array} \right.\) Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bán kính R=OC. Gọi N là trung điểm SC, tứ giác CGIN là hình bình hành, suy ra: \(OG = CN = \frac{1}{2}SC = a\) Ta có: \(CM = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2},\,\,CG = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3}.\frac{3}{2}a\sqrt 3 = a\sqrt 3\) Vậy: \(R = OC = \sqrt {C{G^2} + G{O^2}} = 2a.\)
Câu 234: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng \(\frac{1}{3}\) chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm. A. 0,188 (cm) B. 0,216 (cm) C. 0,3 (cm) D. 0,5 (cm) Spoiler: Xem đáp án Gọi bán kính đáy phễu là R, chiều cao phễu là h=15(cm) do chiều cao nước trong phễu ban đầu bằng \(\frac{1}{3}h\) nên bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là \(\frac{1}{3}R\) Thể tích phễu và thể tích nước lần lượt là \(V = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}.15 = 5\pi {{\rm{R}}^2} \left( {c{m^3}} \right)\) và \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{R}{3}} \right)^2}.\frac{{15}}{3} = \frac{5}{{27}}\pi {{\rm{R}}^2}\left( {c{m^3}} \right)\). Suy ra thể tích phần khối nón không chứa nước là \({V_2} = V - {V_1} = 5\pi {{\rm{R}}^2} - \frac{5}{{27}}\pi {{\rm{R}}^2} = \frac{{130}}{{27}}\pi {{\rm{R}}^2}\left( {c{m^3}} \right)\) .\(\Rightarrow \frac{{{V_2}}}{V} = \frac{{26}}{{27}}\left( 1 \right)\) Gọi h’ và r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước, ta có: \(\frac{{h'}}{h} = \frac{r}{R} \Rightarrow \frac{{{V_2}}}{V} = \frac{{h{'^3}}}{{{h^3}}} = \frac{{h{'^3}}}{{{{15}^3}}}\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) suy ra \(h' = 5\sqrt[3]{{26}} \Rightarrow {h_1} = 15 - 5\sqrt[3]{{26}} \approx 0,188\left( {cm} \right)\)
Câu 235: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 6 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao hình trụ bằng 6 lần đường kính của quả banh. Gọi V1 là tổng thể tích của 6 quả banh và V2 là thể tích của khối trụ. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$? A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{3}\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{3}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi bán kính quả banh tennis là r, theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ là r, chiều cao của hình trụ là 6.2r Thể tích của 6 quả banh là \({V_1} = 6.\frac{4}{3}\pi {r^3}\) Thể tích của khối trụ là \({V_2} = \pi {r^2}.6.2r\) Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{6.\frac{4}{3}\pi {r^3}}}{{2\pi {r^3}.6}} = \frac{2}{3}.\)
Câu 236: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD. A. \(S_{xq}=\frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{4}\) B. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\) C. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{2}\) D. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt {17}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy hình nón là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông nên \(r=\frac{a}{2}\) Chiều cao hình nón là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) nên h = 2a Độ dài đường sinh hình nón là \(l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {4{{\rm{a}}^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\) Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi {\rm{r}}l = \pi \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt {17} }}{2} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt {17} }}{4}.\)
Câu 237: Cho mặt cầu có diện tích là \(72 \pi (cm^2)\). Tìm bán kính R của khối cầu. A. \(R=\sqrt{6}(cm)\) B. \(R=6(cm)\) C. \(R=3(cm)\) D. \(R=3\sqrt{2}(cm)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(S = 4\pi {R^2} = 72\pi \Rightarrow R = \sqrt {\frac{{72\pi }}{{4\pi }}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)
Câu 238: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi (dm^3)\) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình. A. \(V = 6\pi \left( {d{m^3}} \right)\) B. \(V = 12\pi \left( {d{m^3}} \right)\) C. \(V = 54\pi \left( {d{m^3}} \right)\) D. \(V = 24\pi \left( {d{m^3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Xét mặt cắt và các điểm như hình vẽ. Đường kính khối cầu bằng chiều cao bình nước nên \(OS=2OM\) Ta có thể tích nước tràn ra là thể tích của nửa quả cầu chìm trong bình nước: \(18\pi = \frac{{{V_C}}}{2} = \frac{{2\pi O{M^3}}}{3} \Leftrightarrow OM = 3\) Áp dụng \(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Rightarrow OB = 12\) Thể tích nước ban đầu là thể tích bình nước hình nón: \({V_n} = \frac{{\pi O{B^2}OS}}{3} = 24\pi\) Thể tích nước còn lại là: \(24\pi - 18\pi = 6\pi\) .
Câu 239: Cho hình chóp ABCD có \(2AB = 2AC = AD = 2a;\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = \widehat {CAD} = {90^0}\). Gọi V1 là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp ABCD, V2 là thể tích khối chóp ABCD. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}}.\) A. \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}} = \sqrt 6\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}} = \frac{3}{{\sqrt 6 }}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {90^0} \Rightarrow AD \bot BA \bot AC \Rightarrow BA \bot \left( {ACD} \right)\) Gọi M, N là trung điểm CD và AB, từ M kẻ đường song song AB cắt mặt phẳng trung trực của AB tại O (N là trung điểm AB) Suy ra O là tâm khối cầu ngoại tiếp khối chóp ABCD Tính: \({V_2} = \frac{{AB.{S_{ACD}}}}{3} = \frac{{AB.AC.AD}}{6} = \frac{{{a^3}}}{3}\) \(CM = \frac{{CD}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) và \(OM = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\) \(\Rightarrow R = OC = \sqrt {O{M^2} + C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow {V_1} = \frac{{4\pi {R^3}}}{3} = \pi {a^3}\sqrt 6\) \(\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi \sqrt 6 }}{3}.\)
Câu 240: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài đáy bằng 3a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. A. \(\pi {a^2}h\) B. \(3\pi {a^2}h\) C. \(27\pi {a^2}h\) D. \(9\pi {a^2}h\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O, O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\). Bán kính đường tròn đáy của khối trụ là \(R = OA = a\sqrt 3 \Rightarrow {V_{k.tru}} = \pi .{r^2}h = \pi .{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2}.h = 3\pi {a^2}h\)
