Câu 241: Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón, các kích thước cho trên hình vẽ (đơn vị đo là dm). Tính thể tích V của khối dụng cụ đó. A. \(V = 490\pi \,\,d{m^3}\) B. \(V = 175\pi \,\,d{m^3}\) C. \(V = 250\pi \,\,d{m^3}\) D. \(V = 350\pi \,\,d{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối trụ có bán kính \(r=5;h=7\) là \({V_1} = \pi {r^2}h = \pi {.5^2}.7 = 175\pi\) Thể tích của khối nón có bán kính \(r=5;h=9\) là \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.9 = 75\pi\) Vậy thể tích của khối dụng cụ đó là \(V = {V_1} + {V_2} = 175\pi + 75\pi = 250\pi\)
Câu 242: Tam giác đều ABC và hình vuông MNPQ được xếp như hình vẽ với MN là đường trung bình của tam giác ABC. Biết cạnh của tam giác bằng 4. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục AI. A. \(V = \left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 2} \right)\pi\) B. \(V = \left( {\sqrt 3 + 2} \right)\pi\) C. \(V = \left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3} + 2} \right)\pi\) D. \(V = \left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 1} \right)\pi\) Spoiler: Xem đáp án Khi quay quanh trục AI tam giác ABC ta được hình nón có bán kính đáy là r = 2 và chiều cao \(h = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3\) suy ra \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{8\pi \sqrt 3 }}{3}\). Hình vuông MNPQ khi quay quanh trục AI ta được hình trụ có \(h = MQ = MN = 2;r = \frac{{MN}}{2} = 1\) Khi đó \({V_2} = \pi {r^2}h = 2\pi\) Phần bị trùng là khối trụ có bán kính đáy \(r = \frac{{MN}}{2} = 1\) và chiều cao \(h = \frac{{4\sqrt 3 }}{2}:2 = \sqrt 3\) Khi đó \({V_3} = \pi {r^2}h = \pi \sqrt 3\) suy ra \(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3} + 2} \right)\pi\).
Câu 243: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(S = \frac{{2\sqrt 3 \pi ab}}{3}\) B. \(S = \frac{{\sqrt 3 \pi ab}}{3}\) C. \(S = \frac{{\pi {a^2}b}}{3}\) D. \(S = \sqrt 3 \pi ab\) Spoiler: Xem đáp án Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ \(\Rightarrow AA' \bot \left( {ABC} \right)\)và \(\Delta ABC\) đều. Hình trụ T ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ có đường cao h = b. Tam giác ABC đều \(\Rightarrow {R_T} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow S = 2\pi {R_T}h = 2\pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.b = \pi ab\sqrt 3\)
Câu 244: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O’ có bán kính R và chiều cao bằng \(R\sqrt 2\). Mặt phẳng (P) đi qua OO’ cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu? A. \(\sqrt 2 .{R^2}\) B. \(2\sqrt 2 .{R^2}\) C. \(4\sqrt 2 .{R^2}\) D. \(4{R^2}\) Spoiler: Xem đáp án Thiết diện chính là hình chữ nhật ABCD. Ta có: \({S_{ABCD}} = AB.BC = 2R.R\sqrt 2 = 2{R^2}\sqrt 2\)
Câu 245: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 6 và diện tích xung quanh bằng \(60 \pi\). Tính thể tích V của khối nón (N). A. \(69 \pi\) B. \(96 \pi\) C. \(35 \pi\) D. \(53 \pi\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích xung quanh hình nón bằng: \({S_{xq}} = \pi rl = 60\pi \Rightarrow l = \frac{{60\pi }}{{\pi r}} = 10 \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = 8\) Thể tích của khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi\)
Câu 246: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{4}{3}\pi {a^3}\) B. \(V = \frac{{32}}{3}\pi {a^3}\) C. \(V = 4\pi {a^3}\) D. \(V = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là trung điểm của cạnh SC mà \(\Delta SAC\) vuông tại A \(\Rightarrow OS = OC = OA\) Từ \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow OS = OC = OB!\) Từ \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot A{\rm{D}}\\ C{\rm{D}} \bot {\rm{S}}A \end{array} \right. \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot {\rm{SD}} \Rightarrow OS = OC = OD\) Do đó \(OS = OA = OB = OC = OD \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi O{S^3}\) Ta có \(SO = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}}\) \(=\frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + {a^2} + {a^2}} = a \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {a^3}\)
Câu 247: Cho tứ diện đều SABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là a. Tính thể tích V của khối tứ diện đều SABC. A. \(V = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\) B. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{9}\) C. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\) D. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi K là trung diểm của SA. Trên SO lấy điểm I sao cho \(KI \bot SA.\) Do I thuộc SO nên IA=IB=IC (1) Mặt khác tam giác SAI cân tại I nên IS=SA (2) Từ (1) (2) suy ra: IA=IB=IC=IS vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xét tam giác AOI vuông ở O \(\begin{array}{l} A{I^2} = A{O^2} + I{O^2} = A{O^2} + {(SO - AI)^2}\\ \Rightarrow A{O^2} + S{O^2} - 2.SO.SA = 0\\ \Rightarrow S{A^2} - \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.SA.a = 0\\ \Rightarrow SA = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3} = AB = AC = BC = SB = SC\\ \Rightarrow SO = \frac{{4a}}{3} \end{array}\) Vậy thể tích khối chóp đều SABC là: \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SO.\frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}.\)
Câu 248: Cho khối cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt là a, 2a, 2a. Tính thể tích V của khối cầu. A. \(V = \frac{{9\pi {a^3}}}{2}\) B. \(V = 36\pi {a^3}\) C. \(V = \frac{{9\pi {a^2}}}{2}\) D. \(V = 18\pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính khối cầu là một nửa đường chéo của hình hộp chữ nhật: \(R = a\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3a\) Vậy thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi .27{a^3} = 36\pi {a^3}.\)
Câu 249: Một hình chóp tứ giác đều có đỉnh trùng với đỉnh của 1 hình nón và các đỉnh còn lại của đáy hình chóp nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Gọi V1 là thể tích khối chóp tứ giác đều, V2 là thể tích của khối nón. Tính tỉ số $k = \frac{{\pi {V_1}}}{{{V_2}}}$. A. \(k = \frac{1}{6}\) B. \(k = \frac{1}{2}\) C. \(k =2\) D. \(k =6\) Spoiler: Xem đáp án Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra ABCD là hình vuông. Đặt: AB=BC=CD=DA=a suy ra \({S_{ABCD}} = {a^2}\) \(\begin{array}{l} R = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}h.{S_{ABCD}}}}{{\frac{1}{3}\pi {R^2}h}} = \frac{{{S_{ABCD}}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{2}{\pi }\\ \Rightarrow k = 2. \end{array}\)
Câu 250: Cho một hình nón có bán kính đáy R = a đường sinh tạo với mặt đáy một góc 450 .Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. A. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\) B. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\) C. \({S_{xq}} = \sqrt 2 \pi {a^2}\) D. \({S_{xq}} = \sqrt 2 {\pi ^2}{a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Đường sinh tạo với đáy một góc $45^0$ suy ra: \(l = AB = \frac{{BH}}{{\cos {{45}^0}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Vậy diện tích xung quanh hình nón là: \(S = \pi .R.l = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)
