Câu 271: Trong không gian cho hai điểm phân biệt A, B cố định và một điểm M di động sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB luôn bằng một số thực dương d không đổi. Khi đó tập hợp tất cả các điểm M là mặt nào trong các mặt sau? A. Mặt nón B. Mặt phẳng C. Mặt trụ D. Mặt cầu Spoiler: Xem đáp án Các điểm nằm trên mặt trụ có khoảng cách đến đường thẳng AB (Đường cao của hình trụ) luôn bằng một số thực dương d không đổi. Trong đó d là bán kính mặt đáy của hình trụ.
Câu 272: Cho hai hình vuông cùng có cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY. A. \(V = \frac{{125\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}\) B. \(V = \frac{{125\left( {5 + 2\sqrt 2 } \right)\pi }}{{12}}\) C. \(V = \frac{{125\left( {5 + 4\sqrt 2 } \right)\pi }}{{24}}\) D. \(V = \frac{{125\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Khi ta quay hình thứ nhất quay trục XY, ta được 2 hình nón ghép lại với nhau trong đó: \(h = \frac{{\sqrt {{5^2} + {5^2}} }}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} = r\). Áp dụng công thức thể tích ta có: \({V_1} = 2.\frac{1}{3}\pi r{h^2} = 2.\frac{1}{3}.\pi {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\pi }}{{3\sqrt 2 }}.\) Khi ta quay hình còn lại theo trục XY thì ta được hình trụ có chiều cao là 5, bán kính \(r = \frac{5}{2}.\). Áp dụng công thức thể tích ta có: \({V_2} = S.h = \pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{4}.\) Phần bị trùng sẽ là tam giác vuông của 2 hình vuông đè vào nhau, là 1 hình nón \(r = h = \frac{5}{2} \Rightarrow {V_3} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{125\pi }}{{24}}.\) Như vậy: \(V = 125\pi \left( {\frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{4} - \frac{1}{{24}}} \right) = \frac{{125\pi \left( {5 + 4\sqrt 2 } \right)}}{{24}}.\)
Câu 273: Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = 2a,AA' = 2a.\) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABB'C'.\) A. \(R = 3a\) B. \(R = \frac{3a}{4}\) C. \(R =\frac{ 3a}{2}\) D. \(R = 2a\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng với bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho và cũng bằng nửa độ dài đường chéo dài nhất của hình hộp. Suy ra: \(R = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2} + AA{'^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)
Câu 274: Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. A. \(V = \frac{{\pi {a^2}h}}{9}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^2}h}}{3}\) C. \(V =3\pi a^2h\) D. \(V =\pi {a^2}h\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy lăng trụ cũng chính là bán kính đáy khối trụ: \(R = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\) Do đó: \(V = \pi {R^2}h = \pi \frac{{{a^2}h}}{3}.\)
Câu 275: Cho khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng \(15\pi\). Tính thể tích V của khối nón (N). A. \(V = 12\pi\) B. \(V = 20\pi\) C. \(V = 36\pi\) D. \(V = 60\pi\) Spoiler: Xem đáp án Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình nón: \({S_{xq}} = \pi Rl = 15\pi \Rightarrow Rl = 15 \Rightarrow l = 5\) \(\Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} = 4\) \(\Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .9.4 = 12\pi\)
Câu 276: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’C’B’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. A. \(V = \frac{{7\pi {a^2}}}{3}\) B. \(V = \frac{{4\pi {a^2}}}{3}\) C. \(V = \frac{{11\pi {a^2}}}{3}\) D. \(V = \frac{{10\pi {a^2}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O và O lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC và A’B’C’. Khi đó tâm mặt cầu (S) ngoài tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ chính là trung điểm I của OO’. Mặt cầu này có bán kính là: \(R = IA = \sqrt {A{O^2} + O{I^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}.\) Diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{7\pi {a^2}}}{3}.\)
Câu 277: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD. A. \({S_{xq}} = \pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) B. \({S_{xq}} = \pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) C. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) D. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{6}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ACBD} \right).\) Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp(ABCD) Do đó, \(\widehat {SBO} = {60^0}\). Kết hợp \(r = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) ta suy ra: \(h = SO = OB.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) \(l = SB = \frac{{OB}}{{\cos {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2.\cos {{60}^0}}} = a\sqrt 2\) Diện tích xung quanh của mặt nón: \({S_{xq}} = \pi .r.l = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = \pi {a^2}.\) Thể tích hình nón: \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}\pi \frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Câu 278: Cho hình lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 là diện tích 6 mặt của hình lập phương, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số $\frac{S_2}{S_1}$. A. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \pi\) B. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} =\frac{ \pi}{2}\) C. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} =\frac{1}{2}\) D. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{\pi}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Hình trụ có bán kính đáy \(\frac{a}{2}\) chiều h=a. Suy ra: \({S_1} = 6{a^2},{S_2} = \pi {a^2}\) Vậy: \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{\pi }{6}.\)
Câu 279: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Mặt cầu có bán kính là R thì thể tích khối cầu là \(V = 4\pi {{\rm{R}}^3}\) B. Diện tích toàn phần hình trụ tròn có bán kính đường tròn đáy r và chiều cao h là \({S_{tp}} = 2\pi {\rm{r}}\left( {h + r} \right)\) C. Diện tích xung quang của hình nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l là \({S_{xq}} = \pi rl\) D. Thể tích khối trụ với đáy có diện tích là S, chiều cao h là V=S.h. Spoiler: Xem đáp án Công thức đúng là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\)
Câu 280: Người ta xếp 7 viên bi có dạng hình cầu có cùng bán kính bằng r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy của lọ, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính diện tích S của đáy lọ hình trụ. A. \(S = 18\pi {r^2}\) B. \(S = 9\pi {r^2}\) C. \(S = 16\pi {r^2}\) D. \(S = 36\pi {r^2}\) Spoiler: Xem đáp án Để xếp được 7 viên bi hình cầu vào lọ hình trụ thì bán kính đáy của hình trụ là R = 3r. Diện tích đáy của hình trụ là \(S = \pi {R^2} = 9\pi {r^2}.\)
