Câu 281: Một nhà sản suất cần thiết kế một thùng đựng dầu nhớt hình trụ có nắp đậy với dung tích là 2000 dm3. Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì bán kính R của nắp đậy phải bằng bao nhiêu? A. \(R = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{\pi }}}dm\) B. \(R = \frac{{10}}{{\sqrt[2]{\pi }}}dm\) C. \(R = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{2\pi }}}dm\) D. \(R = \frac{{20}}{{\sqrt[3]{2\pi }}}dm\) Spoiler: Xem đáp án Gọi bán kính nắp đậy và chiều cao hình trụ là x và h. Thể tích khối trụ là: \(2000 = \pi {x^2}h \Rightarrow h = \frac{{2000}}{{\pi {x^2}}}\) Diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = 2\pi {x^2} + 2\pi xh = 2\pi {x^2} + 2\pi x.\frac{{2000}}{{\pi {x^2}}} = 2\pi {x^2} + \frac{{4000}}{x}\) Xét hàm số \(\begin{array}{l} f(x) = 2\pi {x^2} + \frac{{4000}}{x},x > 0\\ f'(x) = 4\pi x - \frac{{4000}}{{{x^2}}} = \frac{{4\pi {x^3} - 4000}}{{{x^2}}}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{\pi }}} \end{array}\) Lập bảng biển thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{\pi }}}.\)
Câu 282: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và SA=2a. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(V = 9\pi {a^3}\) B. \(V = \frac{9\pi {a^3}}{2}\) C. \(V = \frac{9\pi {a^3}}{8}\) D. \(V = 36\pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, M và I lần lượt là trung điểm SA, SC suy ra AOIM là hình chữ nhật. Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD, \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\) nên OI là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. \(IM \bot SA \Rightarrow IM\) là trung trực SA trong mặt phẳng (SAC). Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. \(\begin{array}{l} OI = AM = \frac{{SA}}{2} = a\\ OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \end{array}\) Bán kính và thể tích mặt cầu lần lượt là: \(R = IC = \sqrt {I{O^2} + O{C^2}} = \frac{{3a}}{2}\) \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{9\pi {a^3}}}{2}.\)
Câu 283: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng \(\frac{a}{2}\) ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích V của khối trụ. A. \(V = \pi {a^3}\sqrt 3\) B. \(V = \pi {a^3}\) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{4}\) D. \(V = 3\pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi (O) là một đường tròn đáy của hình trụ Mặt phẳng đã cho cắt (O) tại A và B, gọi H là trung điểm AB. Vì thiết diện thu được là hình vuông nên chiều cao hình trụ là: \(h = AB = 2AH = 2\sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = a\sqrt 3\) Thể tích hình trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {a^2}.a\sqrt 3 = \pi {a^3}\sqrt 3\)
Câu 284: Cho hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy là R. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó. A. \({S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} \right)\) B. \({S_{tp}} = \pi R\left( {R + h} \right)\) C. \({S_{tp}} = \pi R\left( {R + 2h} \right)\) D. \({S_{tp}} = \pi R\left( {2R + h} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy R và chiều ao h là: \({S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi R\left( {R + h} \right).\)
Câu 285: Cho hình lập phương có cạnh bằng a và tâm O. Tính diện tích S của mặt cầu tâm O tiếp xúc với các mặt của hình lập phương. A. \(S = 4\pi {a^2}\) B. \(S = 2\pi {a^2}\) C. \(S = 8\pi {a^2}\) D. \(S = \pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu tâm O tiếp xúc với các mặt của hình lập phương có bán kính \(R = \frac{a}{2}\) nên có diện tích \(S = 4\pi {R^2} = \pi {a^2}.\)
Câu 286: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt phẳng (ABC) và \(BC = \sqrt 3 ,\widehat {BAC} = {60^0}.\) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Tìm bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, H, K. A. R=1 B. R=2 C. \(R=\sqrt3\) D. \(R=\frac{\sqrt3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có: \(AC \bot DC\)(1) Mà: \(SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot CD\)(2) Từ (1) (2) suy ra: \(CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AK\,(3)\) Mặt khác: \(AK \bot SC\) (4) Từ (3) (4) suy ra: \(AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AK \bot KD\) Nên tam giác AKD vuông tại K. Tương tự: Ta chứng minh được \(AH \bot HD\) Nên tam giác AHD vuông tại H. Mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, H, K có đường kính AD. Áp dụng định lý sin ta có: \(AD = \frac{{BC}}{{\sin {{60}^0}}} = 2\) Vậy R=1.
Câu 287: Một hình trụ có đáy là đường tròn tâm O bán kính R, ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn (O, R). Dựng các đường sinh AA’ và BB’. Góc của mp(A’B’CD) với đáy hình trụ là 600. Tính diện tích toàn phần của hình trụ. A. \({S_{tp}} = \pi {R^2}(\sqrt 6 + 1)\) B. \({S_{tp}} = 2\pi {R^2}(\sqrt 3 + 1)\) C. \({S_{tp}} = 2\pi {R^2}(\sqrt 2 + 1)\) D. \({S_{tp}} = 2\pi {R^2}(\sqrt 6 + 1)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính R nên: \(AC = 2R \Rightarrow AB = AD = R\sqrt 2\) Ta có: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} CD \bot DA\\ CD \bot A'A \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {A'AD} \right) \Rightarrow CD \bot A'D(1)\\ AD \bot CD(2) \end{array}\) (1) (2) suy ra: \(\widehat {\left( {\left( {A'B'CD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {A'DA} = {60^0}\) \({\rm{AA' = tan6}}{{\rm{0}}^o}.AD = R\sqrt 6\) Do đó \({S_{tp}} = 2\pi R(R + R\sqrt 6 ) = 2\pi {R^2}(\sqrt 6 + 1)\)
Câu 288: Cho tam giác ABC vuông tại \(AB = 6,AC = 8\) quay quanh cạnh AC ta được hình nón có diện tích xung quanh và diện tích toàn phần lần lượt là ${S_1},{S_2}$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{8}{5}\) B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{8}\) C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{13}\) D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được khối nón có đường cao là AC, bán kính đường tròn đáy là AB và độ dài đường sinh là BC. Khi đó: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\pi rl}}{{\pi rl + \pi {r^2}}} = \frac{l}{{r + l}} = \frac{{10}}{{10 + 6}} = \frac{5}{8}.\)
Câu 289: Một hình lập phương có cạnh bằng 1. Một hình trụ có hai đáy nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi V1 là thể tích khối lập phương, V2 là thể tích khối trụ. Tính hiệu \({V_1} - {V_2}.\) A. \({V_1} - {V_2} = 1 - \frac{\pi }{2}\) B. \({V_1} - {V_2} = 1 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\) C. \({V_1} - {V_2} =\frac{3}{4}\) D. \({V_1} - {V_2} = 1 - \frac{\pi }{4}\) Spoiler: Xem đáp án Hình trụ có bán kính đáy \(r=\frac{1}{2}\) và chiều cao h=1. Thể tích khối lập phương là \(V_{lp}=1\) Thể tích của khối trụ là \({V_{tru}} = \pi {r^2}h = \pi {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}.1 = \frac{\pi }{4}\). Khi đó \({V_{lp}} - {V_{tru}} = 1 - \frac{\pi }{4}.\)
Câu 290: Một băng giấy dài được cuộn chặt lại 60 vòng làm thành một cuộn gấy hình trụ rỗng. Biết đường kính của đường tròn trong cùng bằng 2 cm, đường kính của đường tròn ngoài tiếp cùng bằng 6 cm . Hỏi chiều dài của băng giấy là bao nhiêu (làm tròn đến 0,1) ? A. 747,7 cm B. 856,4 cm C. 674,6 cm D. 912,3 cm Spoiler: Xem đáp án Gọi là chiều dài của băng giấy, chiều dài đó bằng tổng độ dài của 60 đường tròn có bán kính \({r_1},{r_2},{r_3},...,{r_{60}}\) Độ dày của 60 vòng giấy \(d = {r_{60}} - {r_1} = 3 - 1 = 2\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {r_2} = {r_1} + \frac{2}{{60}} = 1 + \frac{2}{{60}}\\ {r_3} = {r_1} + 2.\frac{2}{{60}} = 1 + 2.\frac{2}{{60}}\\ ...\\ {r_{60}} = {r_1} + 59.\frac{2}{{60}} = 1 + 59.\frac{2}{{60}} \end{array}\) Chiều dài của băng giấy: \(l = \left( {{r_1} + {r_2} + ... + r{ _{60}}} \right).2\pi = \left( {60.1 + \frac{2}{{60}}\left( {1 + 2 + 3 + ... + 59} \right)} \right).2\pi\) \(= \left[ {60 + \frac{2}{{60}}.\frac{{\left( {59 + 1} \right).59}}{2}} \right]2\pi = 747,7cm\)
