Câu 21: Tính diện tích xung quanh S của một hình nón biết thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 8. A. \(S = 8\sqrt 2 .\) B. \(S = 4\pi \sqrt 2 .\) C. \(S = 16\sqrt 2 .\) D. \(S = 8\pi \sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi đường sinh của hình nón là l. Ta có: \(S = \frac{{{l^2}}}{2} = 8 \Rightarrow l = 4.\) Bán kính đáy của hình nón: \(r = \frac{l}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 .\) Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl = 8\pi \sqrt 2 {\rm{.}}\)
Câu 22: Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = 4,AD = 8\). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC, lấy L, K trên cạnh AD và G, H trên cạnh BC sao cho \(AL = DK = BG = CH = 3\). Gọi E, F trên cạnh AB và N, M trên cạnh CD thỏa mãn \(AE = BF = CM = ND = 1\) (như hình vẽ). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay đa giác EFGHMNKL xung quanh trục IJ. A. \(V = 46\pi \) B. \(V = 70\pi \) C. \(V = \frac{{134}}{3}\pi \) D. \(V = \frac{{67}}{3}\pi \) Spoiler: Xem đáp án Khi quay đa giác EFGHMNKL xung quanh trục IJ, ta được: * Khối trụ tròn xoay (H1) khi quay đa giác EFMN xung quanh trục IJ. Với \(\left( {{H_1}} \right)\) có bán kính đáy \(R = \frac{{EN}}{2} = 4\), chiều cao \(h = EF = 2 \Rightarrow {V_{\left( {{H_1}} \right)}} = 32\pi \) * Khối nón cụt \(\left( {{H_2}} \right)\) khi quay đa giác LKNE xung quanh trục IJ. Với \(\left( {{H_2}} \right)\) có bán kính đáy lớn \({r_1} = \frac{{EN}}{2} = 4\), bán kính đáy nhỏ \({r_2} = \frac{{LK}}{2} = 1\) và chiều cao của khối nón cụt \(h = AE = 1\). Khi đó, thể tích \({V_{\left( {{H_2}} \right)}} = \frac{{\pi h}}{3}\left( {r_1^2 + r_2^2 + {r_1}{r_2}} \right) = 7\pi \) * Khối nón cụt \(\left( {{H_3}} \right)\) khi quay đa giác GHMF xung quanh trục IJ có thể tích bằng \(\left( {{H_2}} \right)\) Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = {V_{\left( {{H_1}} \right)}} + 2.{V_{\left( {{H_2}} \right)}} = 46\pi .\)
Câu 23: Thiết diện qua trục của hình trụ tròn xoay là hình vuông cạnh bằng 2a. Tính thể tích V của khối nón tròn xoay có đường tròn đáy là đáy của hình trụ và đỉnh là tâm của đường tròn đáy còn lại của hình trụ. A. \(V = \frac{1}{3}\pi {a^3}\) B. \(V = \frac{2}{3}\pi {a^3}\) C. \(V = \pi {a^3}\) D. \(V = \frac{4}{3}\pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy là: \(r = \frac{{2a}}{2} = a.\). Thể tích của hình nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.2a = \frac{{2\pi {a^3}}}{3}.\)
Câu 24: Tính thể tích khối nón, biết khối nón đó có chu vi đáy là \(6\pi \) và chiều cao bằng 5. A. \(V = 30\pi \) B. \(V = 45\pi \) C. \(V = 15\pi \) D. \(V = 10\pi \) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy là: \(\frac{{6\pi }}{{2\pi }} = 3.\) Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.5 = 15\pi .\)
Câu 25: Trong các hình sau, hình nào có mặt cầu ngoại tiếp? A. Hình chóp tứ giác. B. Hình hộp. C. Hình lăng trụ xiên. D. Hình chóp tam giác. Spoiler: Xem đáp án Hình chóp tam giác luôn có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 26: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là \(R = 3\sqrt 3 \,cm\). Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thi hút khách hàng). A. \(108\pi \,\,c{m^3}\) B. \(54\pi \,\,c{m^3}\) C. \(18\pi \,\,c{m^3}\) D. \(45\pi \,\,c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi chiều cao hình trụ là h, bán kính đáy là r và bán kính hình cầu \(R = 3\sqrt 3 \) Ta có, để thể tích của hình trụ là lớn nhất thì sẽ phải thỏa mãn đẳng thức sau: \(\frac{{{h^2}}}{4} + {r^2} = {R^2} = 27\) Và ta cần tìm max của biểu thức: \(V = \pi {r^2}h\) Áp dụng BĐT CôSi cho các số thực dương ta có: \(27 = {r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = \frac{{{r^2}}}{2} + \frac{{{r^2}}}{2} + \frac{{{h^4}}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{r^4}{h^2}}}{{14}}}} \Rightarrow {r^4}{h^2} \le 11664 \Rightarrow {r^2}h \le 108\) \( \Rightarrow V \le 108\pi \left( {c{m^3}} \right).\)
Câu 27: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, có \(\widehat {BAC} = {75^0};\,\,\widehat {ACB} = {60^0};\,\,BH \bot AC\). Quay tam giác ABC quanh AC thì tam giác BHC tạo thành hình nón tròn xoay (N). Tính diện tích xung quanh của hình nón đó theo R? A. \(\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2}\pi {R^2}\) B. \(\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2}\pi {R^2}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{4}\pi {R^2}\) D. \(\frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{4}\pi {R^2}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt BC = a, ta có: \(HC = \frac{a}{2};\,\,BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \(\cos {15^0} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}a \Rightarrow AB = \frac{{ - \sqrt 6 + 3\sqrt 2 }}{2}a;\,\,AH = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow AC = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\) \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right){a^2}.\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\sqrt 3 - 1} \right){a^2} = \frac{{{a^3}\left( {2\sqrt 6 - 3\sqrt 2 } \right)}}{{4R}} \Rightarrow R = a\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow a = R.\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow {S_{xq}} = \pi \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \pi \frac{{\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.{R^2} = \pi {R^2}\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 28: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng 2. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón. Tính bán kính của mặt cầu? A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) B. \(2\sqrt 3 \) C. \(\sqrt 3 \) D. 2 Spoiler: Xem đáp án Do thiết diện qua trục là một giác giác đều nên: l = 2 và R = 1. Gọi bán kính mặt cầu là r thì ta có: \(S = 4\pi {r^2} = \pi {R^2} + \pi Rl \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{{1 + 2}}{4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Câu 29: Một khối nón có diện tích toàn phần bằng \(10\pi \) và diện tích xung quanh bằng \(6\pi \). Tính thể tích V của khối nón đó. A. \(V = \frac{{4\pi \sqrt 5 }}{3}\) B. \(V = 4\pi \sqrt 5 \) C. \(V = 12\pi \) D. \(V = 4\pi \) Spoiler: Xem đáp án Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón. Diện tích toàn phần của khối nón là \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = 10\pi \Leftrightarrow r\left( {r + l} \right) = 10\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Diện tích xung quanh của khối nón là \({S_{xq}} = \pi rl = 6\pi \Rightarrow rl = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1), (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{r^2} + rl = 10\\rl = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 2\\l = 3\end{array} \right. \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt 5 \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{4\pi \sqrt 5 }}{3}.\)
Câu 30: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Cho đa giác ABMND quay quanh trục AD ta được một khối tròn xoay \(\left( X \right).\) Tính thể tích V của khối tròn xoay \(\left( X \right)\) biết \(AB = 2cm,BC = 6cm.\) A. \(V = 16\pi \left( {c{m^3}} \right).\) B. \(V = 19\pi \left( {c{m^3}} \right).\) C. \(V = 33\pi \left( {c{m^3}} \right).\) D. \(V = 24\pi \left( {c{m^3}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Gọi P là trung điểm của AD; \(O = MN \cap AD.\) Thể tích khối trụ có bán kính AB và chiều cao BM là \({V_1} = \pi {.2^2}.3 = 12\pi .\) Ta có: \(PO = 2PD = 6.\) Thể tích khối nón đỉnh O, bán kính PM, chiều cao PO là: \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.6 = 8\pi .\) Thể tích khối nón đỉnh O, bán kính DN, chiều cao DO là: \({V_3} = \frac{1}{3}\pi {.1^2}.3 = \pi .\) Thể tích khối tròn xoay \(\left( X \right)\) là: \(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = 12\pi + 8\pi - \pi = 19\pi .\)
