Câu 291: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h=20 cm, bán kính đáy r=25 cm. Một mặt phẳng chứa đỉnh S và giao tuyến với mặt phẳng đáy là AB. Khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng (P) là 12 cm. Tính diện tích S của thiết diện của (P) với khối nón. A. $S=500 cm^2$ B. $S=475 cm^2$ C. $S=450 cm^2$ D. $S=550 cm^2$ Spoiler: Xem đáp án Gọi S là đỉnh của khối nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau là SA=SB nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có \(OI \bot AB.\) Từ tâm O của đáy ta kẻ \(OH \bot SI\) tại H, ta có \(OH \bot \left( {SAB} \right)\) và do đó theo giả thiết ta có \(OH=12 cm\). Xét tam giác vuông SOI tại O ta có : \(\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{1{2^2}}} - \frac{1}{{{{20}^2}}}\)\(\Rightarrow OI = 15\left( {cm} \right)\) Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta có: \(OS.OI = SI.OH\) Do đó \(SI = \frac{{OS.OI}}{{OH}} = \frac{{20.15}}{{12}} = 25\left( {cm} \right)\) Gọi \({S_t}\) là diện tích của thiết diện SAB. Ta có: \({S_t} = \frac{1}{2}AB.SI,\) trong đó AB=2AI. Vì \(A{I^2} = O{A^2} - O{I^2} = {25^2} - 1{5^2} = {20^2}\) nên AI=20cm. Vậy thiết diện SAB có diện tích là: \({S_t} = \frac{1}{2}.40.25 = 500\left( {c{m^2}} \right)\)
Câu 292: Trong không gian, một hình trụ có bán kính đáy R=1 và chiều cao \(h=\sqrt3\). Tính diện tích toàn phần $S_{tp}$ của hình trụ. A. \({S_{tp}} = 2\pi \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)\) B. \({S_{tp}} = 2\pi\) C. \({S_{tp}} = 6\pi\) D. \({S_{tp}} = 2\pi \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d}\). Ta có bán kính đường tròn R=1, chiều cao \(h = MN = \sqrt 3\) Suy ra \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi + 2\pi \sqrt 3 = 2\pi \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\).
Câu 293: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a và \(\widehat {ABC} = {30^0}\). Tính độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AB. A. \(l=a\) B. \(l = \sqrt 2 a\) C. \(l = \sqrt 3 a\) D. \(l=2a\) Spoiler: Xem đáp án Độ dài đường sinh l là \(BC = \frac{{AB}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}.\)
Câu 294: Tính thể tích khối nón có thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân có độ dài cạnh huyền bằng 2a. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{4}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{6}\) C. \(V = \pi {a^3}\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Độ dài cạnh huyền là 2a, suy ra bán kính đáy R, và chiều cao h của khối nón là R=h=a. Vậy thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {a^3}\)
Câu 295: Cho tam giác ABC vuông tại B; AB=10; BC=4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích V của khối tròn xoay do hình thang vuông BMNC quay một vòng quanh MB. A. \(V = \frac{{40\pi }}{3}\) B. \(V = \frac{{20\pi }}{3}\) C. \(V = \frac{{120\pi }}{3}\) D. \(V = \frac{{140\pi }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích hình cần tính là hiệu thể tích của hình nón có bán kính đáy là BC, chiều cao là AB và hình nón có bán kính đáy là MN, chiều cao là AM. \(V = \frac{1}{3}\pi \left( {{{10.4}^2} - {{5.2}^2}} \right) = \frac{{140\pi }}{3}\)
Câu 296: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=2a, BC=a. Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền AC. Gọi \(V_1\) là thể tích khối nón có đường sinh AB, \(V_2\) là thể tích khói nón có đường sinh BC. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\) A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 3\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 4\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2\sqrt2\) Spoiler: Xem đáp án Khi quay hình tam giác ABC quanh cạnh AC thì hình nón có đường sinh là AB thì sẽ nhận BH là bán kính hình tròn đáy, AH là đường cao; hình nón nhận BC là đường sinh sẽ nhận BH là bán kính hình tròn đáy, CH là đươngc cao (với H là chân đường cao từ B xuống AC) \(\begin{array}{l} AC = a\sqrt 5 ;\\ BH.AC = BA.BC \Rightarrow BH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\\ \Rightarrow AH = \frac{{4a\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow CH = \frac{{a\sqrt 5 }}{5} \end{array}\) Vậy: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi .B{H^2}.AH}}{{\frac{1}{3}\pi .B{H^2}.CH}} = \frac{{AH}}{{CH}} = 4\)
Câu 297: Cho khối nón đỉnh O trục OI, bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng \(\frac{a}{2}\). Mặt phẳng (P) thay đổi luôn 2 luôn đi qua O và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác ABO. Tìm S là diện tích lớn nhất của tam giác ABO. A. \(S = \frac{{{a^2}}}{2}\) B. \(S = \frac{{3{a^2}}}{4}\) C. \(S = \frac{{3{a^2}}}{8}\) D. \(S = \frac{{5{a^2}}}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} {S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat {AOB} = \frac{1}{2}.O{A^2}.\sin \widehat {AOB}\\ = \frac{1}{2}\left( {a + \left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)} \right).\sin \widehat {AOB} \end{array}\) Do bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng \(\frac{a}{2}\) nên \(0 < \widehat {AOB} \le {90^0}\) Diện tích tam giác OAB lớn nhất khi \(\sin \widehat {AOB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {AOB} = {90^0}\) hay tam giác OAB là thiết diện qua trục \(\Rightarrow {S_{\max }} = \frac{5}{8}{a^2}\)
Câu 298: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 6\), đáy là hình thang vuông tại A và B.\(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a,\) E là trung điểm AD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD. A. \(R = \frac{{a\sqrt {114} }}{6}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {30} }}{3}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt {26} }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ED và CD Suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông CDE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SED. Dựng hình chữ nhật MNIO suy ra OI và IN lầ lượt là trục các đường tròn ngoại tiếp tam giác SED và DEC. Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD. Ta có: \(\begin{array}{l} OD = \frac{{SE.ED.SD}}{{4.{S_{SED}}}} = \frac{{a\sqrt 7 .a\sqrt {10} .a}}{{4.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt {105} }}{6}\\ R = ID = \sqrt {I{O^2} + O{D^2}} = \frac{{a\sqrt {114} }}{6} \end{array}\)
Câu 299: Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh AB=6, cạnh AC=8, M là trung điểm AC. Tính thể tích V của khối tròn xoay do tam giác BMC quay một vòng quanh cạnh AB tạo thành. A. \(V = 98\pi\) B. \(V = 106\pi\) C. \(V = 96\pi\) D. \(V = 86\pi\) Spoiler: Xem đáp án Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB ta thấy khối tròn xoay tạo ra sẽ là hình có thể tích bằng thể tích hình nón có đường cao là cạnh AB và đường sinh là cạnh BC trừ đi hình nón có đường cao là cạnh AB và đường sinh là cạnh huyền BM của tam giác ABM. Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo ra là \(V = \frac{1}{3}AB.\pi .A{C^2} - \frac{1}{3}AB.\pi .A{M^2} = 96\pi\)
Câu 300: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. \(R = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {11} }}{4}\) C. \(R = \frac{{2a}}{3}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 7 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của AB \(\Rightarrow SH \bot (ABCD)\) Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, kẻ GI//OH Mà \(OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow GI \bot \left( {SAB} \right)\) Ta có \(SG = GB = GA \Rightarrow IS = IB = IA\) Mặt khác IA=IB=IC=ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. \(GI = OH = \frac{1}{2}a\) \(SG = \frac{2}{3}SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = IS = \sqrt {S{G^2} + G{I^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)
