Câu 301: Hình chữ nhật ABCD có AD = a; AB = 3a. Tính thể tích V của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh AD.\(V= 9\pi a^{3}\) A. \(V = \frac{{9{\pi ^3}}}{4}\) B. \(V = \frac{{{\pi ^3}}}{4}\) C. \(V = 3\pi {a^2}\) D. \(V= 9\pi a^{3}\) Spoiler: Xem đáp án Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh AD thì được hình trụ có chiều cao là AD và bán kính đáy là DC. Thể tích cần tính là \(V = S.h = \pi .{\left( {3a} \right)^2}.a = 9\pi {a^3}\)
Câu 302: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A; \(AB = 6;\,AC = 8.\) Hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của đoạn thẳng BC,\(SA = 13\) . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. \(R = \frac{{144}}{{25}}\) B. \(R = \frac{{121}}{{16}}\) C. \(R = \frac{{169}}{{24}}\) D. \(R = \frac{{81}}{{35}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của BC \(BC = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10 \Rightarrow AM = \frac{{BC}}{2} = 5\) \(\begin{array}{l} SM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SM \bot AM\\ \Rightarrow A{M^2} + M{S^2} = S{A^2} \Rightarrow SM = 12 \end{array}\) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, suy ra hình chiếu I trên (ABC) là M. Dễ thấy I thuộc đoạn SM Đặt: \(\begin{array}{l} IA = IB = IC = IS = R\\ \Rightarrow IM = SM - SI = 12 - R\\ I{A^2} = I{M^2} + M{A^2} = {(12 - R)^2} + {5^2} = {R^2}\\ \Rightarrow R = \frac{{169}}{{24}} \end{array}\)
Câu 303: Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của hình nón ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng \(3{a^2}.\) Tính thể tích V của hình nón đó. A. \(V = \frac{{{a^3}\pi \sqrt 2 }}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\pi \sqrt 3}}{2}\) C. \(V={a^3}\pi \sqrt 2\) D. \(V={a^3}\pi \sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án \({V_{SAB}} = 3{a^2} \Rightarrow \frac{1}{2}.S{A^2} = 3{a^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 6\) \(\Rightarrow SI = IA = h = r = a\sqrt 3\) Với h và r lầ lượt là chiều cao và bán kính đáy hình nón. Vậy thể tích khối nón là:\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = {a^3}\pi \sqrt 3\)
Câu 304: Một khối trụ có bán kính đáy là R=5(cm), khoảng cách giữa hai đáy là 7(cm). Cắt hình trụ bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ một khoảng 3(cm). Tính diện tích S của thiết diện. A. \(S = 26\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) B. \(S = 36\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) C. \(S = 46\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) D. \(S = 56\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(AA' = 7(cm);\,OI = 3(cm);\,\,OA = R = 5(cm)\) \(\Rightarrow {S_{ABA'B'}} = AA'.AB = 7.2\sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = 56c{m^2}.\)
Câu 305: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có \(AC = 3cm;\,\widehat {ABC} = {30^0}.\) Quay tam giác ABC quanh trục AB thu được một hình nón. Tính diện tích xung quanh S của hình nón đó? A. \(S = 27\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\) B. \(S = \left( {27 + 18\sqrt 3 } \right)\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\) C. \(S = 18\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\) D. \(S = 18\sqrt 3 \pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AB = 3\sqrt 3 ;\,\,BC = 6\) Hính nón có đường sinh l=BC=6 Đáy tâm A, bán kính r=AC=3 Vậy diện tích xung quanh hình nón là: \(S = \pi rl = 18\pi\)
Câu 306: Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều. Tính tỉ số thể tích của phần khối cầu nằm ngoài khối nón (V1) và thể tích khối nón (V2). A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{{32}}\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{23}}{9}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{{23}}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{9}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(R = OS\) là bán kính khối cầu. đều nên \(SI = \frac{{3R}}{2};IA = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.\) \(\begin{array}{l} {V_2} = {V_{kc}} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\\ {V_{kn}} = \frac{3}{8}\pi {R^3}\\ \Rightarrow {V_1} = {V_{kc}} - {V_{kn}} = \frac{{23}}{{24}}\pi .{R^3}. \end{array}\) Suy ra \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{V_{kc}} - {V_{kn}}}}{{{V_{kn}}}} = \frac{{23}}{9}.\)
Câu 307: Cho tứ diện ABCD,\(AD \bot \left( {ABC} \right),\,DB \bot BC,\,AD = AB = BC\). Gọi \({V_1},\,{V_2},\,{V_3}\) lần lượt là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bởi tam giác ABD quay quanh AD, tam giác ABC quay quanh AB, tam giác DBC quay quanh BC. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? A. \({V_1} + {V_2} = \,{V_3}\) B. \({V_1} + {V_3} = \,{V_2}\) C. \({V_2} + {V_3} = \,{V_1}\) D. \({V_1} = {V_2} = \,{V_3}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt AD=AB=BC=a, ta có: Khi quay tam giác ABD quanh AD được khối nón có thể tích: \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {a^2}.a = \frac{1}{3}\pi {a^3}\) Khi quay tam giác ABC quanh AB được khối nón có thể tích: \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {a^2}.a = \frac{1}{3}\pi {a^3}\) Khi quay tam giác DBC quanh BC được khối nón có thể tích: \({V_3} = \frac{1}{3}\pi2 {a^2}.a = \frac{2}{3}\pi {a^3}\) Suy ra \({V_1} + {V_2} = {V_3}.\)
Câu 308: Một hình nón có bán kính đáy bằng R và diện tích xung quanh bằng \(\frac{{5\pi {R^2}}}{3}\). Tính thể tích V của khối nón. A. \(V = \frac{{4\pi {R^3}}}{9}\) B. \(V = \frac{{4\pi {R^2}}}{9}\) C. \(V = \frac{{4\pi {R}}}{9}\) D. \(V = \frac{{2\pi {R^3}}}{9}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {S_{xq}} = \frac{{5\pi {R^2}}}{3} = \pi Rl \Rightarrow l = \frac{{5R}}{3} \Rightarrow {h^2} = {l^2} - {R^2} = \frac{{16{R^2}}}{9}\\ \Rightarrow V = \frac{{\pi {R^2}h}}{3} = \frac{{4\pi {R^3}}}{9} \end{array}\)
Câu 309: Cho hình trụ có diện tích thiết diện qua trục là 25. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ. A. \(S = 250\pi\) B. \(S = 25\pi\) C. \(S = 50\pi\) D. \(S = 50\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích thiết diện qua trục hình trụ \({S_{td}} = 2R.h = 25 \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi Rh = 25\pi\)
Câu 310: Người ta xếp 7 hình trụ có cùng bán kính đáy r và cùng chiều cao h vào một cái lọ hình trụ cũng có chiều cao h, sao cho tất cả các hình tròn đáy của hình trụ nhỏ đều tiếp xúc với đáy của hình trụ lớn, hình trụ nằm chính giữa tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, mỗi hình trụ xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ lớn. Tính thể tích V của khối trụ lớn. A. \(V = 16\pi {r^2}h\) B. \(V = 18\pi {r^2}h\) C. \(V = 9\pi {r^2}h\) D. \(V = 36\pi {r^2}h\) Spoiler: Xem đáp án Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy của hình đã cho như trên. Khi đó ta có bán kính đáy hình trụ lớn là:\(R = 3r\) Vậy khi đó thể tích khối trụ là \(V = B.h = {\left( {3r} \right)^2}.\pi .h = 9\pi {r^2}h.\)
