Câu 311: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) B. \(V = \frac{{2\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\) C. \(V = \frac{4{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(O = AC \cap DB\) Khi đó: \(OA = OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Vì \(SO \bot (ABCD) \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại O \(\Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Vậy\(OA = OB = OC = OD = OS\) nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD, bán kính \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Vậy thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Câu 312: Cho tam giác ABO vuông tại O, có góc \(\widehat {BAO} = {30^0},AB = a\). Quay tam giác ABO quanh trục AO ta được một hình nón. Tính diện tích xung quanh hình nón đó. A. \(S = \pi {a^2}\) B. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{4}\) C. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\) D. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Hình nón thu được có đường sinh: \(l = AB = a\) Bán kính đáy:\(r = OB = AB.sin30^\circ = \frac{a}{2}\) Diện tích xung quanh là: \({S_{xq}} = \pi rl = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\)
Câu 313: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 2a và mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông. Tính thể tích V của khối nón. A. \(V = \frac{{2\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\) C. \(V = \frac{{2\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\) D. \(V = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân cạnh 2a ⇒ Bán kính đáy và chiều cao của hình nón đều bằng \(R = h = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2\) Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .\pi {(a\sqrt 2 )^2} = \frac{{2\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Câu 314: Cho một hình nón (N) có góc ở đỉnh bẳng 600 và bán kính đường tròn đáy bằng r1. Mặt cầu (C) có bán kính r2 tiếp xúc với mặt đáy và mặt xung quanh của (N). Tính tỉ số \(T = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}\) A. \(T = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}\) B. \(T = \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }}\) C. \(T = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) D. \(T = \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử thiết diện qua trục của nón là tam giác ABC đều, với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón, gọi H là tâm đáy. Khi đó thiết diện của mặt cầu (C) là đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Ta có OH = r2, HC = r1; ∆ HOC vuông tại H có góc OCH = 300 nên \(T = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}} = \tan {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Câu 315: Cho một hình nón có góc ở đỉnh bằng $90^0$ và bán kính đáy bằng 4. Khối trụ (H) có một đáy thuộc đáy của hình nón và đường tròn đáy của mặt đáy còn lại thuộc mặt xung quanh của hình nón. Biết chiều cao của (H) bằng 1. Tính thể tích của (H). A. \({V_H} = 9\pi\) B. \({V_H} = 6\pi\) C. \({V_H} = 18\pi\) D. \({V_H} = 3\pi\) Spoiler: Xem đáp án Gọi thiết diện diện qua trục của hình nón là tam giác ABC vuông tại A, BC=4. Ta có: , OB = OC = OA = 4 Áp dụng định lý Ta lét ta có: OC = 4CD ⇒ CD = 1 Suy ra bán kính đáy hình trụ là r = OD = 3 Thể tích hình trụ là \(V = \pi {r^2}h = 9\pi\)
Câu 316: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta được một khối nón. Tính thể tích V của khối nón đó. A. \(V = 2\pi {a^3}\) B. \(V = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}\) C. \(V = 4\pi {a^3}\) D. \(V = \frac{{2\pi {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Hình nón thu được có bán kính đáy r = AC = 2a, Chiều cao h = AB = a nên có thể tích: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}\)
Câu 317: Cho một hình lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó. A. \(S = 4\pi {a^2}\) B. \(S = \pi {a^2}\) C. \(S = \frac{1}{3}\pi {a^2}\) D. \(S = \frac{{4\pi {a^2}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính bằng \(\frac{a}{2}\) Diện tích mặt cầu đó là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}\)
Câu 318: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tìm bán kính R của mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện. A. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\) B. \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là tâm tam giác đều BCD. E là trung điểm của CD. Ta có: \(AH \bot (BCD)\) Gọi I là tâm mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD thì I là giao điểm của AH và phân giác góc \(\widehat {AEB}\) của tam giác AEB. \(\begin{array}{l} AE = BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ HE = \frac{{BE}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\\ AH = \sqrt {A{E^2} - H{E^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \end{array}\) Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\begin{array}{l} \frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{EH}}{{EA}} \Rightarrow \frac{{IH}}{{IH + IA}} = \frac{{EH}}{{EH + EA}}\\ \Rightarrow IH = \frac{{EH.AH}}{{EH + EA}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} \end{array}\) Vậy bán kính mặt cầu là: \(r = IH = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\)
Câu 319: Tính thể tích V của khối trụ có chiều cao bằng 3, chu vi đáy bằng \(4\pi\). A. \(10\pi\) B. \(40\pi\) C. \(18\pi\) D. \(12\pi\) Spoiler: Xem đáp án Chu vi đáy \(4\pi\), suy ra bán kính đáy là R=2. . Vây thể tích khối trụ là:\(V = \pi {R^2}h = 12\pi\).
Câu 320: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD quanh MN tạo thành một hình trụ. Gọi (S) là mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình trụ. Tính bán kính R của mặt cầu (S). A. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) D. \(R = a\sqrt 6\) Spoiler: Xem đáp án Mặt trụ tạo bởi hình vuông ABCD khi quay quanh MN có: Độ dài đường cao h=a, bán kính đáy \(r = \frac{a}{2}\). Vậy diện tích toàn phần \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = \frac{{3{a^2}\pi }}{2}\) Mặt cầu (S) có diện tích \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{3{a^2}\pi }}{2} \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
