Câu 321: Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC. A. \(V = 25\sqrt 2 \pi\) B. \(V = \frac{{125\sqrt 2 \pi }}{3}\) C. \(V = \frac{{10\sqrt 2 \pi }}{3}\) D. \(V = \frac{{5\sqrt 2 \pi }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, AB. Vì tam giác SAB vuông tại S nên N là tâm đường tòn ngoại tiếp SAB. Trong mặt phẳng (MSN) dựng hình chữ nhật MSNO thì ON là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và OM là đường trung trực của đoạn SC trong mặt phẳng (OSC). Nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC. \(BN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + S{B^2}} = \frac{5}{2}\) .\(ON = MS = \frac{1}{2}SC = \frac{5}{2}\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là: \(\begin{array}{l} R = OB = \sqrt {O{N^2} + B{N^2}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\\ V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{125\sqrt 2 \pi }}{3} \end{array}\)
Câu 322: Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a, sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Tìm bán kính đáy R của hình nón. A. \(R = \frac{{8a}}{3}\) B. \(R = \sqrt 2 a\) C. \(R = 2\sqrt 2 a\) D. \(R = \frac{{4a}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi tam giác ABC là thiết diện qua trục của hình nón với A là đỉnh của hình nón, BC là đường kính đáy. Gọi H là tâm đường tròn đáy, suy ra H là trung điểm của BC. Gọi \(O_1\) là tâm mặt cầu lớn. \(O_2\) là tâm mặt cầu nhỏ. \({D_1},{D_2}\) lần lượt là tiếp điểm của AC với \(O_1\) và \(O_2\). Ta cần tìm R=HC. Vì: \(\left\{ \begin{array}{l} {O_1}{D_1}//{O_2}{D_2}\\ {O_1}{D_1} = 2{O_2}{D_2} \end{array} \right.\) Nên \(O_2\) là trung điểm của \(A{O_1} \Rightarrow A{O_1} = 2{O_1}{O_2} = 2.3a = 6a\) \(AH = A{O_1} + {O_1}H = 8a\) \(A{D_1} = \sqrt {A{O_1}^2 - {O_1}{D_1}^2} = 4a\sqrt 2\) Ta có: \(\Delta A{O_1}{D_1}\) và \(\Delta ACH\) là hai tam giác đồng dạng nên: \(\frac{{{O_1}{D_1}}}{{CH}} = \frac{{A{D_1}}}{{AH}} \Rightarrow CH = 2\sqrt 2 a\)
Câu 323: Một hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao nón bằng 2. Khi đó góc ở đỉnh của nón là \(2\varphi\) thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. \(\tan \varphi = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) B. \(\cot \varphi = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) C. \(\cos \varphi = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) D. \(\sin \varphi = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử thiết diện qua trục của hình nón đã cho là ∆ ABC cân tại A với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy của nón. Gọi H là tâm đáy nón ⇒ H là trung điểm BC, AH ⊥ BC . Ta có HB = HC = 1, AH = 2. \(\widehat {BAC} = 2\varphi \Rightarrow \widehat {HAC} = \varphi\) \(\begin{array}{l} AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = \sqrt 5 \\ \cos \varphi = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \end{array}\)
Câu 324: Cho tứ diện ABCD có $AD \bot \left( {ABC} \right)$ và \(BD\bot BC\). Khi quay tất cả các cạnh của tứ diện đó quanh cạnh AB có bao nhiêu hình nón được tạo thành. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Khi quay quanh cạnh AB thì ta có một hình chóp đỉnh B, đáy là đường tròn tâm A, bán kính AD. Tiếp tục ta có \(BD \bot BC;DA \bot BC\) \(\Rightarrow BC \bot AB\) . Vậy khi quay quanh AB, ta có thêm hình chóp đỉnh A đáy là đường tròn tâm B bán kính BC.
Câu 325: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. B. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. C. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. Spoiler: Xem đáp án 1. Ta có cách xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp như sau: Xác định trục đường tròn của mặt phẳng đáy, tức là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. Lấy giao điểm của trục với trung trực của cạnh bên hình chóp. Vì thế với hình tứ diện và hình chóp đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp, nên A và B đúng. 2. Hình hộp chữ nhật luôn có tâm cách đều các đỉnh của hình hộp, do đó luôn xác định được một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật. Vậy D đúng. Chọn phương án C.
Câu 326: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;r) và (O';r) . Khoảng cách giữa hai đáy là $OO' = r\sqrt 3$ . Một hình nón có đỉnh là O’ và có đáy là hình tròn (O;r) . Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành 2 phần. Gọi V1 là thể tích phần bên ngoài khối nón, V2 là phần thể tích bên trong khối nón. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$. A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{3}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có thể tích khối chóp \({V_{chop}} = \frac{1}{3}S.h\) \({V_{tru}} = S.h \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{V} = \frac{1}{3}\), mặt khác \(V = {V_1} + {V_2} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\)
Câu 327: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Tính thể tích V của khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D'. A. \(V = \frac{1}{4}\pi {a^3}\) B. \(V = \frac{1}{3}\pi {a^3}\) C. \(V = \frac{1}{12}\pi {a^3}\) D. \(V = \frac{1}{2}\pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Do đường tròn đáy của hình nón nội tiếp hình vuông A'B'C'D' nên độ dài đường kính hình tròn \(d = a \Rightarrow R = \frac{a}{2}\). Khi đó \(V = \frac{1}{3}.a.{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}\pi = \frac{{{a^3}}}{{12}}\pi\)
Câu 328: Cho hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính r=3. Xác định chiều cao h và bán kính r1 để hình trụ có thể tích lớn nhất. A. \(h = 2\sqrt 3 ;{r_1} = \sqrt 6\) B. \(h = \sqrt 3 ;{r_1} = \sqrt 6\) C. \(h = 2\sqrt 3 ;{r_1} = \sqrt 3\) D. Một kết quả khác Spoiler: Xem đáp án Ta có \({r_1}^2 = 9 - {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2}\). Thể tích hình trụ: \(V = \pi \left( {9 - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)h = 9\pi h - \pi \frac{{{h^3}}}{4}\) \(\Rightarrow V'(h) = 9\pi - \frac{{3\pi }}{4}{h^2} = 0 \Leftrightarrow h = 2\sqrt 3\) Dễ thấy \(h = 2\sqrt 3\) là điểm cực đại của hàm V(h). Suy ra \(h = 2\sqrt 3 ;{r_1} = \sqrt 6\)
Câu 329: Một hình lập phương có cạnh bằng 2a vừa nội tiếp hình lăng trụ (T) vừa nội tiếp mặt cầu (C). Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}}\) giữa khối cầu và khối lăng trụ giới hạn bởi (C) và (T)? A. \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \sqrt 3\) B. \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \sqrt 2\) C. \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) D. \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hình trụ \((T):AB = 2a \Rightarrow AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow {r_T} = OA = a\sqrt 2\), ngoài ra \(h= AA' = 2a\) \({V_{(T)}} = \pi {\left( {{r_T}} \right)^2}h = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.2a = 4\pi {a^3}\) (1) Xét mặt cầu \((C):A'C = \sqrt {A{{A'}^2} + A{C^2}} = 2a\sqrt 3 \Rightarrow {r_c} = IC = a\sqrt 3\) \({V_{(C)}} = \frac{4}{3}\pi {\left( {{r_c}} \right)^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 3 } \right)^3} = 4\pi \sqrt 3 .{a^3}\) (2) (1) và (2) suy ra \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \sqrt 3\)
Câu 330: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra khi quay tam giác AA’C’ quanh trục AA’. Tính S. A. \(S = \pi {b^2}\) B. \(S = \pi {b^2}\sqrt 2\) C. \(S= \pi {b^2}\sqrt 3\) D. \(S = \pi {b^2}\sqrt 6\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy của hình nón \(R = A'C' = \sqrt {{b^2} + {b^2}} = b\sqrt 2\) Độ dài đường sinh \(l = AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = b\sqrt 3\) Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \(S = \pi Rl = \pi {b^2}\sqrt 6\)
