Câu 331: Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền. A. \(S = 8\pi {m^2}\) B. \(S = 4\pi {m^2}\) C. \(S = 2\pi {m^2}\) D. \(S = \frac{2\pi {m^2}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Tâm mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền. Bán kính R của mặt cầu bằng một nửa độ dài cạnh huyền. Suy ra: \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{m^2} + {m^2}} = \frac{{m\sqrt 2 }}{2}\) Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{m\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2\pi {m^2}\)
Câu 332: Một hình trụ có bánh kính r và chiều cao \(h = r\sqrt 3\). Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. A. \(h=\frac{{r\sqrt 3 }}{2}\) B. \(h=\frac{{r\sqrt 3 }}{4}\) C. \(h=\frac{{r\sqrt 3 }}{6}\) D. \(h=\frac{{r\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi tâm 2 đáy là O và O’ \((A \in \left( O \right))\) Dựng hình chữ nhật AOO’A’ Ta có góc: \(\begin{array}{l} \widehat {A'AB} = {30^0}\\ \Rightarrow A'B = A'A.\tan {30^0} = r \end{array}\) Nên tam giác A’O’B đều. Vì OO’//AA’ nên OO’//(AA’B) \(d(OO';AB) = d(OO';(AA'B)) = d(O': (AA'B))\) Gọi H là trung điểm của A’B \(\Rightarrow O'H \bot (AA'B)\) \(\Rightarrow d(O';(AA'B)) = OH = \frac{{O'A'\sqrt 3 }}{2}\)
Câu 333: Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất những loại hộp hình trụ có thể tích V cho trước để đựng thịt bò. Gọi x, h (x > 0, h > 0) lần lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Tính tổng x+h để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất. A. \(x+h=\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) B. \(x+h=\sqrt[3]{{\frac{{3V}}{{2\pi }}}}\) C. \(x+h=2\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) D. \(x+h=3.\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(V = \pi {x^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}}\) Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diên tích toàn phần của hộp phải nhỏ nhất. Ta có: \({S_{tp}} = 2\pi {x^2} + 2\pi xh = 2\pi {x^2} + 2\pi x.\frac{V}{{\pi {x^2}}} = 2\pi {x^2} + \frac{{2V}}{x}\) Đến đây có 2 cách làm: + Cách 1: Đặt \(f(x) = 2\pi {x^2} + \frac{{2V}}{x}\) Tìm x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là diện tích xung quanh nhỏ nhất, từ đó suy ra h. \(f'(x) = 4\pi x - \frac{{2V}}{{{x^2}}}\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4\pi x - \frac{{2V}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\pi {x^3} - 2V}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) Lập bảng biến thiên ta kiểm tra được hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) \(\Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}} = \frac{V}{{\pi \sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}}} = 2\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) \(\Rightarrow x + h = 3\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) + Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cô-si: \({S_{tp}} = 2\pi {x^2} + \frac{{2V}}{x} = 2\pi {x^2} + \frac{V}{x} + \frac{V}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {x^2}.\frac{V}{x}.\frac{V}{x}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\) Dấu “=” xảy ra khi: \(2\pi {x^2} = \frac{V}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) \(\Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}} = \frac{V}{{\pi \sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}}} = 2\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) \(\Rightarrow x + h = 3\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)
Câu 334: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60o. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. A. \(S = 2\pi {a^2}\) B. \(S = \frac{{\sqrt 7 \pi {a^2}}}{4}\) C. \(S = \pi {a^2}\) D. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm đáy, H là trung điểm CD. Hình nón đã cho có bán kính đáy OH, đường sinh SH. \(\widehat {SAO} = {60^0}\) (Góc giữa cạnh bên và mặt đáy) Nên SAC là tam giác đều. Nên: \(SC = SA = AC = a\sqrt 2\) \(SO = SC.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) \(r = OH = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2};\) \(l = SH = \sqrt {S{O^2} + O{H^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\) \({S_{xq}} = \pi rl = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{4}\)
Câu 335: Một khối trụ có thể tích là 20 (đvtt). Tính thể tích V của khối trụ nếu tăng bán kính đáy lên 2 lần và giữ nguyên chiều cao. A. V=80 (đvtt) B. V=40 (đvtt) C. V=60 (đvtt) D. V=400 (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Công thức tính thể tích hình trụ là \({V_{tru}} = B.h = \pi {r^2}h\). Khi bán kính đáy tăng lên 2 lần thì \({V_{tru\,moi}} = B'.h = \pi {\left( {2r} \right)^2}h = 4{V_{tru}}\) Nên \({V_{tru\,moi}} = 80\)
Câu 336: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600, đường sinh bằng 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón. A. \({S_{xq}} = 4\pi {a^2}\) B. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2}\) C. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\) D. \({S_{xq}} = 3\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử thiết diện qua trục hình nón là tam giác ABC có AB=2a, \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Gọi H là trung điểm của BC, suy ra H là tâm đáy. Ta có: \(\widehat {BAH} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {30^0}\) \(r = HB = AB.\sin {30^0} = a\) \(l = AB = 2a\) \(\Rightarrow {S_{xq}} = \pi rl = 2\pi {a^2}\)
Câu 337: Cho hình trụ có bán kính đáy 3 cm, đường cao 4cm. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ này. A. \(S=20\pi \left( {c{m^2}} \right)\) B. \(S=24\pi \left( {c{m^2}} \right)\) C. \(S=26\pi \left( {c{m^2}} \right)\) D. \(S=22\pi \left( {c{m^2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích xung quanh hình trụ cần tính là \({S_{xq}} = 2\pi .3.4 = 24\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Câu 338: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của khối trụ. A. \({S_{tp}} = {a^2}\pi \sqrt 3\) B. \({S_{tp}} = \frac{{13{a^2}\pi }}{6}\) C. \({S_{tp}} = \frac{{27\pi {a^2}}}{2}\) D. \({S_{tp}} = \frac{{{a^2}\pi \sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua trục của hình trụ và hình trụ là một hình vuông có cạnh là 3a nên ta có thể suy ra \(h= 3a\); \(r = \frac{{3a}}{2}\). Vậy diện tích toàn phần hình trụ là: \({S_{tp}} = \frac{{27\pi {a^2}}}{2}\)
Câu 339: Tính diện tích S của mặt cầu có đường kính bằng 2a. A. \(S=8\pi {a^2}\) B. \(S=\frac{{4\pi {a^2}}}{3}\) C. \(S=4\pi {a^2}\) D. \(S=16\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Đường kính mặt cầu là 2a suy ra bán kính mặt cầu là a. Vậy: \(S = 4\pi {a^2}\)
Câu 340: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là giao điểm của AC và BD Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Do ABCD là hình vuông nên: \(BD = a\sqrt 2\) \(SB = SD = a \Rightarrow S{B^2} + S{D^2} = B{D^2}\) Suy ra tam giác SBD vuông cân tại S. Từ đó ta có: OA=OB=OD=OC=OS. Vậy O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính \(R = OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
