Câu 341: Thiết diện qua trục của hình nón tròn xoay là một tam giác đều có cạnh bằng a.Tính thể tích của khối nón đó. A. \(V=\frac{{3\pi {a^3}}}{8}\) B. \(V=\frac{{2\sqrt 3 \pi {a^3}}}{9}\) C. \(V=\frac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{24}}\) D. \(V=\sqrt 3 \pi {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy của hình nón là: \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) Chiều cao: \(h = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Vậy hình nón có thể tích là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
Câu 342: Một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm3. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc dạng hình trụ và được sản xuất cùng một nguyên vật liệu. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào? A. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy B. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy Spoiler: Xem đáp án Xét mô hình hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao h. Ta có: \({V_1} = {a^2}h = 1\) và diện tích xung quanh: \({S_1} = 2{a^2} + 4ah = 2{a^2} + 2ah + 2ah \ge 3.\sqrt[3]{{2{a^2}.2ah.2ah}} = 6\) Dấu “=” xảy ra khi a=h. Xét mô hình hình trụ có bán kính đáy là và chiều cao là . Ta có \({V_2} = \pi {r^2}h = 1\) và diện tích xung quanh \({S_2} = 2\pi {r^2} + \pi rh + \pi rh \ge 3\sqrt[3]{{2{\pi ^3}{r^4}{h^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi }} < 6\). . Dấu “=” xảy ra khi h=2r. Vậy ta sẽ thiết kế bao bì hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy.
Câu 343: Một hình trụ có trục \(OO' = 2\sqrt 7\), ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8 có đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho tâm của hình vuông trùng với trung điểm của OO'. Tính thể tích V của hình trụ. A. \(V = 50\pi \sqrt 7\) B. \(V = 25\pi \sqrt 7\) C. \(V = 16\pi \sqrt 7\) D. \(V = 25\pi \sqrt {14}\) Spoiler: Xem đáp án Từ giả thiết \(h = OO' = 2\sqrt 7\). Suy ra: \(OI = \sqrt 7 ,IH = 4 \Rightarrow OH = 3\). \(HB = 4 \Rightarrow r = OB = 5\). \(\Rightarrow V = \pi {r^2}h = \pi {.5^2}.2\sqrt 7 = 50\sqrt 7 \pi\).
Câu 344: Cho hình chóp S.ABC, có SA vuông góc mặt phẳng (ABC); tam giác ABC vuông tại B. Biết \(SA = 2a;AB = a;BC = a\sqrt 3\). Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. \(R = 2a\sqrt 2\) B. \(R = a\sqrt 2\) C. \(R = 2a\) D. \(R = a\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(SA \bot (ABC)\) \(\Rightarrow BC \bot SA;BC \bot AB \Rightarrow BC \bot SB\) \(\Rightarrow A;B;C;S\) cùng nằm trên mặt cầu có đường kính SC; Bán kính \(R = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2\).
Câu 345: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. Tính diện tích xung quanh S của hình nón. A. \(S = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\) B. \(S = \pi {a^2}\sqrt 2\) C. \(S = 2\pi {a^2}\sqrt 2\) D. \(S = 2\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi thiết diên qua trục là tam giác SAB. Gọi O là trung điểm của AB. Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên: + Hình nón có bán kính đáy \(R = OA = OS = a\). + Độ dài đường sinh \(l = SA = a\sqrt 2\). Vậy: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .OA.SA = \pi {a^2}\sqrt 2\).
Câu 346: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm nào? A. Đỉnh S B. Tâm hình vuông ABCD C. Điểm A D. Trung điểm của SC Spoiler: Xem đáp án Ta dễ dàng chứng minh được các tam giác SAC, SBC và SDC là các tam giác vuông cạnh huyền SC. Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm của SC.
Câu 347: Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. \(S = \frac{{\pi {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{4}\) B. \(S = \frac{{\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2}\) C. \(S= \pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) D. \(S = \pi {\left( {a + b + c} \right)^2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng (SAB) tại I. Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt \(\Delta\) tại O. Suy ra: OC=OS(1) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác SAB vì SAB vuông tại S. Suy ra OA=OB=OS (2) Từ (1);(2) suy ra OA=OB=OC=OS. Vậy A, B, C, S thuộc mặt cầu tâm O bán kính OA. \(R = OA = \sqrt {O{I^2} + A{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{SC}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}}\) Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {\left( {\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} } \right)^2} = \pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Câu 348: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ tròn xoay ngoại tiếp lăng trụ. A. \(S = \frac{{2\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\) B. \(S = \frac{{2\pi {a^2}\sqrt 3 }}{4}\) C. \(S = \frac{{2\pi {a^2}\sqrt 3 }}{6}\) D. \(S = \frac{{2\pi {a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức \({S_{xq}} = 2\pi .R.l\) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow R = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\); \(l =AA'=a\) Vậy diện tích cần tìm là \({S_{xq}} = 2\pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.a = 2\pi \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\) (đvdt).
Câu 349: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích V của khối nón ngoại tiếp khối chóp I.ABCD. A. \(\frac{{\pi {a^3}}}{3}\) B. \(\frac{{\pi {a^3}}}{4}\) C. \(\frac{{\pi {a^3}}}{6}\) D. \(\frac{{\pi {a^3}}}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có khối nón có \(h = IO =\frac{a}{2}\) Bán kính hình tròn đáy \(R=OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Vậy \({V_{(N)}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}.\pi .\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{\pi {a^3}}}{{12}}\)
Câu 350: Tính thể tích V của khối hình thu được sau khi quay nửa đường tròn tâm O đường kính AB quanh trục AB, biết OA=4? A. \(V = 256\pi\)(đvtt) B. \(V = 32\pi\)(đvtt) C. \(V = \frac{{256}}{3}\pi\)(đvtt) D. \(V = \frac{{32}}{3}\pi\)(đvtt) Spoiler: Xem đáp án Khi quay nửa đường tròn quanh trục AB ta được khối cầu tâm O, bán kính \(\frac{{AB}}{2} = 2\). Khi đó \({V_{cau}} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.\pi {.2^3} = \frac{{32}}{3}\pi\) (đvtt).
