Câu 351: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính R = 5 và chu vi của hình quạt là \(P = 8\pi + 10\), người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách: Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu Gọi V1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)? A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{21}}{{\sqrt 7 }}\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Do chu vi của hình quạt tròn là P = độ dài cung + 2R. Do đó độ dài cung tròn là \(l = 8\pi\) Theo cách thứ nhất: \(8\pi\) chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Tức là \(2\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4\) Khi đó \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\) \(\Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}.3\pi {.4^2}\) Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là \(8\pi \Leftrightarrow\) chu vi của một đường tròn đáy là \(4\pi \Rightarrow 4\pi = 2\pi {\rm{r}} \Rightarrow r = 2\) Khi đó \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21}\) \(\Rightarrow {V_2} = 2.\frac{1}{3}\sqrt {21} {.2^2}.\pi\) Khi đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{4^2}}}{{\frac{{8\sqrt {21} }}{3}}} = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\).
Câu 352: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2. Tính diện tích xung quanh của hình nón. A. \(2\pi \sqrt 2\) (đvdt) B. \(2\pi\) (đvdt) C. \(4\pi \sqrt 2\) (đvdt) D. \(4\pi\) (đvdt) Spoiler: Xem đáp án Ta có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh bằng 2 \(\Leftrightarrow\) đường sinh \(l=2\). Đường kính của hình tròn đáy là cạnh huyền của tam giác vuông. \(2R = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow R = \sqrt 2\). Khi đó \({S_{xq}} = \pi .Rl = 2\sqrt 2 \pi\) đvdt.
Câu 353: Một hình trụ có bán kính đáy là 2 cm và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích của khối trụ. A. \(4\pi {\rm{ }}c{m^3}\) B. \(8\pi {\rm{ }}c{m^3}\) C. \(16\pi {\rm{ }}c{m^3}\) D. \(32\pi {\rm{ }}c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Nhận xét, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông sẽ được biểu thị dưới hình vẽ sau: Từ đây ta có thể nhận thấy đường kính của hình tròn đáy = chiều cao của hình trụ = cạnh của hình vuông thiết diện. Do đó có thể suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} r = 2cm\\ h = 2.2 = 4cm \end{array} \right.\) Khi đó \(V = B.h = 4.\pi {.2^2} = 16\pi \,c{m^3}\)
Câu 354: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AD=2a; AB=a, cạnh bên \(SA = a\sqrt 2\) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính bán kính R của hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMD. A. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có hình vẽ như sau: Nhận thấy tứ diện S.AMD có AMD là tam giác vuông tại M (Do \(AM = MD = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = a\sqrt 2\) mà \(AD = 2a\Rightarrow\) hệ thức pytago). Sau đây sẽ là các bước để tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bước 1: Vẽ trục đường tròn của mặt phẳng đáy . Gọi O là trung điểm của AD, suy ra O là trọng tâm của tam giác AMD. Từ O, kẻ Ox vuông góc với (ABCD) Bước 2: Vẽ trung trực của cạnh bên và tìm giao điểm, giao điểm đó chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Kẻ Ny vuông góc với SA, \(Ny \cap Ox = I\). Khi đó I chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMD. Ta chỉ cần tính IS là được. Mà tam giác SIN vuông góc tại N \(\Rightarrow SI = \sqrt {S{N^2} + N{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) Vậy đáp án đúng là C.
Câu 355: Cho hình nón đỉnh S có đường tròn đáy bán kính 1cm, nội tiếp trong hình vuông ABCD. Biết \(SA = \sqrt {11}\) cm. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD A. V=5 ($cm^3$) B. V=4 ($cm^3$) C. V=\(3\sqrt {2}\) ($cm^3$) D. V=3 ($cm^3$) Spoiler: Xem đáp án Nhận thấy đường tròn đáy nội tiếp hình vuông ABCD, thì đường kính đáy bằng cạnh của hình vuông ABCD. Khi đó độ dài mỗi cạnh hình vuông là \(a = 2.1 = 2cm\). Kí hiệu như hình vẽ, khi đó \(OA = \frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2\) \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {11 - 2} = 3\) \(\Rightarrow V = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3.2.2 = 4c{m^3}\)
Câu 356: Cho mặt cầu tâm O, bán kính R=13. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C mà \(AB = 6;BC = 8;CA = 10\). Tính khoảng cách h từ O đến (P). A. h=10 B. h=12 C. h=13 D. h=11 Spoiler: Xem đáp án Ta thấy \(A{B^2} + B{C^2} = C{A^2}\), suy ra tam giác ABC vuông tại B. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn đi qua A, B, C. Tam giác ABC vuông tại B, suy ra AC là đường kính của đường tròn \(\Rightarrow r = \frac{{CA}}{2} = 5\) là bán kính của đường tròn. Mặt cầu có bán kính R=13 . Khi đó ta có khoảng cách từ tâm O đến (P) là: \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = 12\)
Câu 357: Cho hình chữ nhật ABCD như hình vẽ. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính thể tích khối trụ thu được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục MN. Biết AB=a; BC=b A. \(V = \frac{{{a^2}b}}{4}\pi\) (đvtt) B. \(V = {a^2}b\pi\)(đvtt) C. \(V = \frac{{{a^2}b}}{{12}}\pi\)(đvtt) D. \(V = \frac{{{a^2}b}}{3}\pi\)(đvtt) Spoiler: Xem đáp án Khi quay quanh trục MN thì khối được tạo thành sẽ là khối trụ với đáy là hình tròn có đường kính là AB. Khi đó, bán kính đáy khối là \(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\). Thể tích của hình trụ là \(V = B.h = \pi {r^2}.b = \frac{{{a^2}b}}{4}\pi\) đvtt
Câu 358: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA vuông góc với đáy. Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp đa diện AHKBC. A. \(R = a\sqrt 2\) B. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án \(SA \perp (ABC)=>SA \perp BC\) \(BC \perp AB=>BC \perp (SAB)\) \(\Rightarrow (SAB) \perp (SBC)\) \(AH \perp SB\Rightarrow AH \perp (SBC)\Rightarrow AH \perp CH\) \(\Rightarrow \Delta AHC\) vuông tại H \(\Delta AKC\) vuông tại K \(\Delta ABC\) vuông tại B =>Hình đa diện AKCBH nội tiếp trong mặt cầu đường kính AC, tâm I là trung điểm của AC và bán kính \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Câu 359: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao kẻ từ C là \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},CA = a\) . Khi đó đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục CA là? A. \(l = a\) B. \(l = \sqrt 2 a\) C. \(l = \sqrt 3 a\) D. \(l = 2a\) Spoiler: Xem đáp án Đường sinh của hình nón quay được thực chất chính là cạnh huyền AB của tam giác vuông ABC. Mà tam giác vuông đã có một cạnh bên và đường cao, ta chỉ cần áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{C{A^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}}\) \(\Rightarrow CB = a\sqrt 3 \Rightarrow AB = 2a\) ( theo định lý Pytago). Đáp án D.
Câu 360: Đường kính của một khối cầu bằng cạnh của một khối lập phương. Gọi V1 là thể tích khối lập phương, V2 là thể tích khối cầu. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\). A. \(\frac{4}{3}\pi\) B. \(\frac{1}{6}\pi\) C. \(\frac{6}{\pi }\) D. \(\frac{3}{{4\pi }}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có công thức: \({V_1} = {a^3}\) \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} = \frac{\pi }{6}{a^3}\) \(\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{6}{\pi }\) Vậy đáp án đúng là C.
