Câu 361: Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra: A. Một hình trụ. B. Một hình nón. C. Một hình nón cụt. D. Hai hình nón. Spoiler: Xem đáp án Gọi O là giao điểm của BC và AD. Khi quay hình ABCD quanh BC tức là tam giác vuông OBA quanh OB và tam giác vuông OCD quanh OC. Mỗi hình quay sẽ tạo ra một hình nón nên hình tạo ra sẽ tạo ra 2 hình nón. Vậy đáp án đúng là D.
Câu 362: Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu bằng? A. \(\frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}\) B. \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}\) C. \(\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}\) D. \(\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trùng với tâm đối xứng của hình hộp. Như hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm là I, là trung điểm của AC’, bán kính \(r = \frac{{AC'}}{2}\) Tam giác A'C'A vuông tại A' \(\Rightarrow AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = \sqrt {{c^2} + A'C{'^2}} \,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Mặt khác tam giác A'D'C' vuông tại D' \(\Rightarrow A'C' = \sqrt {A'D{'^2} + D'C{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) ta có \(r = \frac{1}{2}.\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}\). Đáp án A.
Câu 363: Cối xay gió của Đôn ki hô tê (từ tác phẩm của Xéc van téc). Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón. Chiều cao của hình nón là 40 cm và thể tích của nó là 18000 cm3. Tính bán kính của đáy hình nón (làm tròn đến kết quả chữ số thập phân thứ hai). A. 12 cm. B. 21 cm. C. 11 cm. D. 20 cm. Spoiler: Xem đáp án Theo đề bài ta có: \(V = 18000\,c{m^3},h = 40\,cm\) Do đó, ta có: \(V = \frac{1}{3}.\pi {r^2}h \Rightarrow r = \sqrt {\frac{{3V}}{{\pi h}}} = \sqrt {\frac{{3.18000}}{{40\pi }}}\) \(\Rightarrow r \approx 20,72\,cm\) Vậy bán kính của hình tròn là \(r = 21\,cm\).
Câu 364: Một hình trụ có 2 đáy là hình tròn nội tiếp một hình vuông cạnh a. Tính thể tích của khối trụ đó, biết chiều cao của khối trụ là a? A. \(\frac{1}{2}{a^3}\pi\) B. \(\frac{1}{4}{a^3}\pi\) C. \(\frac{1}{3}{a^3}\pi\) D. \({a^3}\pi\) Spoiler: Xem đáp án Ta có hình vẽ sau Ta thấy hình tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có đường kính có độ dài a. Khi đó thể tích của khối trụ là \(V = B.h = a.\pi .{R^2} = a.\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}{a^3}\pi\) Đáp án B.
Câu 365: Cho hình nón có chiều cao ℎ; bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh là \(l\). Tìm khẳng định đúng. A. \(V = \frac{1}{3}.{r^2}h\) B. \({S_{xq}} = \pi rh\) C. \({S_{tp}} = \pi r\left( {r + l} \right)\) D. \({S_{xq}} = 2\pi rh\) Spoiler: Xem đáp án Đáp án đúng ở đây là đáp án C. Câu hỏi này nhằm kiểm tra lại các công thức của hình nón. \(V = \frac{1}{3}.\pi {r^2}h;\,{S_{xq}} = \pi rl;\,{S_{tp}} = \pi {r^2} + \pi rl\)
Câu 366: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, góc giữa AB’ với mặt đáy là 450. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ bằng: A. \(\frac{{7\pi {a^2}}}{3}\) B. \(\frac{{7\pi {a^2}}}{{12}}\) C. \(\frac{{7\pi {a^2}}}{{16}}\) D. \(\frac{{7\pi {a^2}}}{8}\) Spoiler: Xem đáp án \(B'B = AB.\tan {45^0} = a\) Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm các tam giác đều ABC và A’B’C’. Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là trung điểm I của OO’. Ta có: \(R = IC' = \sqrt {IO{'^2} + O'C{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\) Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{7}{3}\pi {a^2}\)
Câu 367: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A, BC = 6, AA’ = 8. Xét mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và một hình trụ có hai đáy ngoại tiếp hai tam giác ABC và A’B’C’. Tỉ số thể tích của khối cầu và khối trụ bằng: A. \(\frac{{25}}{{72}}\) B. \(\frac{{125}}{{27}}\) C. \(\frac{{25}}{{27}}\) D. \(\frac{{125}}{{54}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: ABC và A’B’C’ lần lược vuông tại A và A’. Nên đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt là đường tròn tâm 0 bán kính OB và tâm O’ bán kính O’B’ với O, O’ lần lượt là trung điểm BC và B’C’. Hình trụ có hai đáy ngoại tiếp hai tam giác ABC và A’B’C’ có bán kính đáy: \({R_1} = OB = 3\), đường cao \({h_1} = AA' = 8\) Vậy thể tích là: \({V_1} = \pi {R_1}^2{h_1} = 72\pi\) Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm là trung điểm của OO’, bán kính: \({R_2} = 5\) Vậy thể tích là: \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{500}}{3}\pi\) Vậy: \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{125}}{{54}}\)
Câu 368: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, cạnh bên 2a. Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ là: A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) B. \(a\sqrt 3\) C. \(\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) D. \(a\sqrt 2\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của OO’, ta dễ dàng chứng minh được OA = OB = OC = OA’ = OB’= OC’ Nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’. Ta có: \(R = A'I = \sqrt {O'A{'^2} + IO{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Câu 369: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B với AC = 6a, SA = 8a và vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng: A. \(64\pi {a^2}\) B. \(\frac{{100\pi {a^2}}}{3}\) C. \(100\pi {a^2}\) D. \(\frac{{64\pi {a^2}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Dễ dàng chững minh được hai tam giác SCA, SCB đều là những tam giác vuông và nhận SC làm cạnh huyền. \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 10a\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(R = 5a\) Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = 100\pi {a^2}\)
Câu 370: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và vuông góc với mặt đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng: A. \(\frac{{13a}}{2}\) B. \(\frac{{5a}}{2}\) C. 6a D. \(\frac{{17a}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Xét các tam giác SAB, SBC, SDC, SAC đều là những tam giác vuông, và có chung SC là cạnh huyền. Vậy trung điểm I của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\) \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 13a\) Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \(R=\frac{{13a}}{2}\)
