Câu 371: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa các cạnh bên và đáy bằng 600. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,D,S có bán kính R bằng: A. \(a\sqrt 6\) B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có SAC và SBD là các tam giác đều. Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAC, thì ta cũng dễ dàng chứng minh được I là trọng tâm tam giác đều SBD. Ta có: IA = IC = IB = ID = IS Nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Do SAC đều nên AC = SA = SC = \(a\sqrt 2\) Suy ra: \(SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) Vậy: \(R = IS = \frac{2}{3}SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Câu 372: Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A. \(\frac{{\pi {a^2}}}{3}\) B. \(\frac{2}{3}\pi {a^2}\) C. \(\pi {a^2}\) D. \(\frac{4}{3}\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trọng tam của tam giác ABC. Ta có IS = IA = IB = IC = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Vậy diện tích mặt cầu ngoài tiếp khối chóp là: \(V = 4\pi {R^2} = \frac{4}{3}\pi {a^2}\)
Câu 373: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Diện tích S là: A. \(\pi {a^2}\) B. \(\pi {a^2}\sqrt 2\) C. \(\pi {a^2}\sqrt 3\) D. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy của hình trụ là \(R=OA= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Đường cao h = a. Vậy diện tích xung quanh hình trụ là: \(S = 2\pi Rl = \pi {a^2}\sqrt 2\)
Câu 374: Cho hình trụ có O, O’ là tâm các đáy. Xét hình nón có đỉnh O’, đáy là đường tròn (O). Biết đường sinh của hình nón hợp với đáy một góc \(\alpha\); tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng \(\sqrt{3}\). Khi đó góc \(\alpha\) bằng: A. $60^0$ B. $45^0$ C. $30^0$ D. $90^0$ Spoiler: Xem đáp án O’B = l là đường sinh của hình nón. O’O = h là đường cao của hình nón. OB = R là bán kính đáy của hình nón và hình trụ. Đường sinh của hình nón hợp với đáy một góc \(\alpha\) suy ra \(\widehat {OBC} = \alpha\) Nên: \(l = \frac{h}{{\sin \alpha }}\) Diện tích xung quanh hình nón: \({S_1} = \pi Rl = \pi R.\frac{h}{{\sin \alpha }}\) Diện tích xung quanh hình trụ là: \({S_2} = 2\pi Rh\) \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \alpha = {60^0}\)
Câu 375: Cho ABB’A’ là thiết diện song song với trục OO’ của hình trụ (A,B nằm trên đường tròn (O)). Biết AB = 4, AA’ = 3 và thể tích khối trụ là \(24\pi\). Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABB’A’) bằng: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Thể tích khối trụ là \(24\pi\), đường cao h = AA’ =3 Do đó bán kính mặt đáy là \(R = 2\sqrt 2\) Ta có \(OA = OB = 2\sqrt 2\) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABB’A’) chính là khoảng cách từ O đến AB hay là độ dài đường cao kẻ từ O của tam giác OAB cân tại O. Vậy \(d(0,\left( {ABB'A'} \right)) = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {2^2}} = 2\)
Câu 376: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi O,O’ lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, A’B’C’D’. Gọi O, O' là thể tích khối trụ có các đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD, A’B’C’D’, V2 là thể tích khối nón có đỉnh O’ đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Kết quả nào sau đúng: A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 4\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 3\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương. Khối trụ có các đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD, A’B’C’D’ có: Bán kính \({R_1} = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) , đường cao h1 = a. Vậy thể tích khối trụ là: \({V_1} = \frac{1}{2}\pi {a^3}\) Khối nón có đỉnh O’ đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có: Bán kính đáy \({R_1} = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), đường cao h2 = a. Vậy thể tích khối nón là: \({V_2} = \frac{1}{6}\pi {a^3}\) Suy ra: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 3\)
Câu 377: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, cạnh bên 2a. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích các khối trụ có các đáy ngoại tiếp và nội tiếp các đáy của lăng trụ. Kết quả nào sau đúng: A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 4\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 3\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Khối trụ có các đáy ngoại tiếp các đáy lăng trụ có: + Đường cao h = 2a. + Bán kính đáy \({R_1} = OA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) + Vậy thể tích khối trụ là: \({V_1} = \pi {R_1}^2.h = \frac{2}{3}\pi {a^3}\) Khối trụ có các đáy nội tiếp các đáy lăng trụ là: + Đường cao h = 2a. + Bán kính đáy \({R_2} = OD = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) + Vậy thể tích khối trụ là: \({V_2} = \pi {R_2}.h = \frac{1}{6}\pi {a^3}\) Suy ra: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 4\)
Câu 378: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD = 2. Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta được 2 khối trụ có thể tích V1, V2. Hệ thức nào sau đây đúng? A. $V_1 = V_2$ B. $2V_1 = V_2$ C. $V_1 = 2V_2$ D. $2V_1 = 3V_2$ Spoiler: Xem đáp án Quay hình chữ nhật quanh AD ta được khối trụ có bán kính \({R_1} = AB = 2AD\), đường cao h1 = AD. Vậy \({V_1} = \pi 4.A{D^2}.AD = 4\pi A{D^3}\) Quay hình chữ nhật quanh AB ta được khối trụ có bán kính \({R_2} = AD\), đường cao h2 = AB = 2AD. Vậy \({V_2} = \pi .A{D^2}.2AD = 2\pi .A{D^3}\) Suy ra: \({V_1} = 2{V_2}\)
Câu 379: Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB=4, AD=2. Gọi M, N là trung điểm của các cạnh AB, CD. Cho hình chữ nhật quay quanh MN ta được khối trụ có thể tích bằng: A. \(V = 4\pi\) B. \(V = 8\pi\) C. \(V = 16\pi\) D. \(V = 32\pi\) Spoiler: Xem đáp án Khối trụ thu được có bán kính đáy R = AM = 2 Đường cao h = AD = 2 Vậy thể tích khối trụ là: \(V = \pi {R^2}h = 8\pi\)
Câu 380: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, mặt bên hợp với đáy góc 600. Hình nón có đỉnh là S, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích toàn phần là. A. \(\frac{{2\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\) B. \(2\pi {a^2}\) C. \(\pi {a^2}\) D. \(3\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD cũng là bán kính đáy hình nón là: R=a Xét khối chóp S.ABCD, góc giữa mặt bên và đáy là 600 Suy ra độ cao của khối chóp cũng chính là độ cao hình nón là: \(h = a.\tan 60 = a\sqrt 3\) Vậy độ dài đường sinh của hình nón là: \(l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\) Vậy diện tích toàn phần hình nón là: \(S = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi R(l + R) = \pi a(2a + a) = 3\pi {a^2}\)
