Câu 31: Một công ty thiết kế các bồn chứa nước hình trụ bằng nhựa có thể tích V không đổi, chiều cao h và bán kính đáy R. Tính tỉ số \(k = \frac{h}{R}\) để nguyên liệu làm bồn nước là ít tốn kém nhất. A. \(k = \frac{2}{3}.\) B. \(k = \frac{1}{2}.\) C. \(k = 2.\) D. \(k = \frac{1}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của bồn chứa nước là \(V = \pi {R^2}h.\) Diện tích nguyên vật liệu làm bồn là: \(S = {S_d} + {S_{xq}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi \left( {{R^2} + \frac{V}{{\pi R}}} \right).\) Lại có: \({R^2} + \frac{V}{{\pi R}} = {R^2} + \frac{V}{{2\pi R}} + \frac{V}{{2\pi R}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}.\) Dấu bằng xảy ra khi: \({R^2} = \frac{V}{{2\pi R}} = \frac{{Rh}}{2} \Rightarrow \frac{h}{R} = 2.\)
Câu 32: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng \(5\sqrt 2 cm.\) Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp trên. A. \(V = \frac{{250}}{3}c{m^3}. \) B. \(V = 100\pi c{m^3}. \) C. \(V = \frac{{500}}{3}\pi c{m^3}. \) D. \(V = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi c{m^3} \) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của SA. Kẻ đường thẳng qua M và kể đường thẳng d vuông góc với SA trong mp (SAI). Ta có: \(d \cap SI = O.\) Khi đó O là tâm khối cầu ngoại tiếp khối chóp. Ta có: \(2A{I^2} = {\left( {5\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow AI = 5;\,\,SI = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {5^2}} = 5.\) \(SM.SA = SO.SI \Leftrightarrow SO = \frac{{SM.SA}}{{SI}} = \frac{{\frac{{5\sqrt 2 }}{2}.5\sqrt 2 }}{5} = 5 \Rightarrow R = 5\) Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.5^3} = \frac{{500}}{3}\pi \left( {c{m^3}} \right).\)
Câu 33: Cho hình nón \(\left( N \right)\) có diện tích toàn phần bằng \(24\pi c{m^2}\) và bán kính mặt đáy bằng 3cm. Tính thể tích V của khối nón \(\left( N \right).\) A. \(V = 6\pi \left( {c{m^3}} \right).\) B. \(V = 24\pi \left( {c{m^3}} \right).\) C. \(V = 12\pi \left( {c{m^3}} \right).\) D. \(V = 36\pi \left( {c{m^3}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích mặt đáy là: \(\pi {.3^2} = 9\pi \left( {c{m^2}} \right).\) Diện tích xung quanh là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .3.l = 24\pi - 9\pi = 15\pi \Rightarrow l = 5\left( {cm} \right).\) Chiều cao của khối chóp là \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\left( {cm} \right).\) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi \left( {c{m^3}} \right).\)
Câu 34: Trong các hình chóp dưới đây, hình chóp nào có mặt cầu ngoại tiếp? A. Hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình thang cân. B. Hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình bình hành. C. Hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình thoi. D. Hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình thang vuông. Spoiler: Xem đáp án Hình bình hành, hình thoi, hình thang vuông trong trường hợp tổng quát không có đường tròn ngoại tiếp. Do đó không có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có mặt đáy là hình thang vuông, hình bình hành, hình thoi. Vậy A là phương án đúng.
Câu 35: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R=5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC. Tính khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng chứa tam giác. A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Giả sửa AB, BC, CA tiếp xúc với mặt cầu tại các điểm M, N, P. Như vậy \(ON \bot AB,\,\,\)\(OM \bot BC,\,\,OP \bot AC.\) Kẻ \(OH \bot \left( {ABC} \right).\) Khi đó: \(HN \bot AB;\,\,HM \bot BC;\,\,HP \bot AC.\) Hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: \(r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p}.\) Dễ thấy \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 84.\) \(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = 21 \Rightarrow r = OM = 4.\) Do đó \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = 3.\)
Câu 36: Cho một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên \(BC = A{\rm{D}} = \sqrt 2 \). Cho hình thang đó quay quanh AB, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu? A. \(V = \frac{7}{3}\pi \) B. \(V = 3\pi \) C. \(V = \frac{4}{3}\pi \) D. \(V = \frac{5}{3}\pi \) Spoiler: Xem đáp án Hạ \(DI \bot AB;\,\,CK \bot AB \Rightarrow IA = AB = BK = 1 \Rightarrow DI = CK = 1.\) Khối tròn xoay tạo thành chính là khối trụ tạo thành từ hình chữ nhật IKCD, bỏ đi 2 khối nón tạo thành từ tam giác AID, BKC khi quay quanh AB. Khối trụ có bán kính đáy bằng 1, đường sinh bằng 3 nên có thể tích \({V_T} = 3\pi .\) Khối nón có bán kính đáy bằng 1, đường cao bằng 1 nên có thể tích \({V_N} = \frac{1}{3}\pi .\) Khối tròn xoay cần tính có thể tích bằng: \(V = {V_T} - 2{V_N} = \frac{{7\pi }}{3}.\)
Câu 37: Cho hình nón có đỉnh S, tâm đáy là O, bán kính đáy là a, góc tạo bởi một đường sinh SM và đáy là \({60^0}\). Tìm khẳng định đúng? A. \({S_{tp}} = a\pi {a^2}\) B. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2}\) C. l = 2a D. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(SO = OM.\tan SMO = a\sqrt 3 .\) Khi đó: \(SO = h = a\sqrt 3 ;\,\,l = SM = 2{\rm{a}}{\rm{.}}\) \({S_{xq}} = \pi {\rm{r}}l = 2\pi {a^2};\,\,V = \frac{1}{3}\pi {{\rm{r}}^2}h = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3};\,\,{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 3\pi {a^2}.\)
Câu 38: Một hình trụ có bán kính đáy r = a, độ dài đường sinh l = 2a. Tính diện tích toàn phần S của hình trụ này. A. \(S = 5\pi {a^2}\) B. \(S = 2\pi {a^2}\) C. \(S = 4\pi {a^2}\) D. \(S = 6\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{{\rm{S}}_d} = 2\pi {\rm{r}}h + 2\pi {{\rm{r}}^2} = 6\pi {a^2}.\)
Câu 39: Cho khối nón có bán kính đáy 3a. Cắt khối nón đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục và bỏ phần trên của khối nón (phần chứa đỉnh của khối nón). Biết thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a và độ dài phần đường sinh còn lại bằng \(\frac{{29a}}{{10}}\). Tính thể tích phần còn lại của khối nón theo a. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\,\) C. \(V = \frac{{29\pi {a^3}}}{{10}}\) D. \(V = \frac{{91\pi {a^3}}}{{10}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{BO'}}{{AO}} = \frac{{IB}}{{IA}} \Leftrightarrow \frac{a}{{3a}} = \frac{{IB}}{{IB + \frac{{29a}}{{10}}}} \Leftrightarrow IB = \frac{{29a}}{{20}}\) \( \Rightarrow IA = \frac{{29a}}{{20}} + \frac{{29a}}{{10}} = \frac{{87a}}{{20}}\) Đặt chiều cao của khối nón ban đầu và khối nón bị cắt bỏ lần lượt là h và h’. Ta có \(\frac{{h'}}{h} = \frac{a}{{3a}} \Rightarrow h' = \frac{h}{3}\) \(h = \sqrt {{{\left( {\frac{{87a}}{{20}}} \right)}^2} - {{\left( {3a} \right)}^2}} = \frac{{63a}}{{20}} \Rightarrow h' = \frac{{21a}}{{20}}\) Thể tích khối nón ban đầu là: \(V = \frac{1}{3}\pi {\left( {3a} \right)^2}.\frac{{63a}}{{20}} = \frac{{189\pi {a^3}}}{{20}}\) Thể tích của khối nón bị cắt bỏ là: \({V_1} = \frac{1}{3}.\pi .{a^2}.\frac{{21a}}{{20}} = \frac{{7\pi {a^3}}}{{20}}\) Thể tích phần còn lại của khối nón là: \({V_2} = V - {V_1} = \frac{{189\pi {a^3}}}{{20}} - \frac{{7\pi {a^3}}}{{20}} = \frac{{91\pi {a^3}}}{{10}}.\)
Câu 40: Cho mặt cầu (S) tâm I. Một mặt phẳng (P) cách I một khoảng bằng 5(cm) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn đi qua ba điểm A, B, C. Biết AB = 6(cm), BC = 8(cm), CA = 10(cm). Tính diện tích xung quanh của mặt cầu (S). A. \(S = 100\pi \sqrt 2 \left( {c{m^2}} \right)\) B. \(S = 100\pi \left( {c{m^2}} \right)\) C. \(S = \frac{{100\pi }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\) D. \(S = 200\pi \left( {c{m^2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\,\)vuông tại \(B \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\) Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{{6.8.10}}{{4r}} = 24 \Rightarrow r = 5\left( {cm} \right)\) Gọi R là bán kính của mặt cầu (S). Ta có: \(R = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 \) Diện tích xung quanh của mặt cầu (S) là: \({S_{xq}} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {5\sqrt 2 } \right)^2} = 200\pi \left( {c{m^2}} \right).\)
