Câu 41: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn (O) và (O’) . Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng \(45^\circ \)và khoảng cách đến trục OO' bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Biết bán kính đáy bằng a, tính thể tích của khối trụ theo a. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{6}\) B. \(V = \pi {a^3}\sqrt 2 \) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{2}\) D. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt OO’ = h. Gọi I, E, D lần lượt là trung điểm của BC, BA, OO’. Ta có: \(d\left( {AB;OO'} \right) = ED = IO' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat B = 45^\circ \Rightarrow \) vuông cân \( \Rightarrow BC = AC = h\) Ta có: \(CO{'^2} = C{I^2} + IO{'^2} \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow h = a\sqrt 2 \) Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {a^2}.a\sqrt 2 = \pi {a^3}\sqrt 2 \)
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, CA = a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) C. \(R = \frac{a}{2}\) D. \(R = a\sqrt 2 \) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AB = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: \(R = CI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Câu 43: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm, đường kính đáy là 6cm, lượng nước ban đầu trong cốc cao 10cm. Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là 2cm. Hỏi sau khi thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cố bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 4,25cm B. 4,81cm C. 4,26cm D. 3,52cm Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy là: 3(cm). Thể tích nước ban đầu là: \(V = \pi {.3^2}.10 = 90\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Thể tích của 5 viên bị là: \(5.\frac{4}{3}\pi {.1^3} = \frac{{20}}{3}\pi \) Thể tích khối nước và các viên bi là: \(90\pi + \frac{{20\pi }}{3} = \frac{{290\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\) Chiều cao của mực nước lúc sau là: \(\frac{{\frac{{290\pi }}{3}}}{{\pi {{.3}^2}}} = \frac{{290}}{{27}}\left( {cm} \right)\) Mực nước trong cốc cách miệng cốc là: \(15 - \frac{{290}}{{27}} \approx 4,26\left( {cm} \right)\).
Câu 44: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy là 6cm và diện tích hình tròn đáy bằng \(\frac{3}{5}\) diện tích xung quanh của hình nón. Tính thể tích V của khối nón. A. \(V = 48\pi \left( {c{m^3}} \right)\) B. \(V = 64\pi \left( {c{m^3}} \right)\) C. \(V = 96\pi \left( {c{m^3}} \right)\) D. \(V = 288\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích hình tròn đáy là: \(S = \pi {r^2} = \pi {.6^2} = 36\pi \) Diện tích xung quanh của hình nón là: \(S = \pi rl = \frac{5}{3}.36\pi \Leftrightarrow \pi .6.l = \frac{5}{3}.36\pi \Leftrightarrow l = 10\) Chiều cao của hình nón là: \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\) Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}.S.h = \frac{1}{3}.36\pi .8 = 96\left( {c{m^3}} \right)\).
Câu 45: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = a,AC = a\sqrt 5 \). Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ khi quay đường gấp khúc BCDA xung quanh trục AB. A. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2}\) B. \({S_{xq}} = 4\pi {a^2}\) C. \({S_{xq}} = 2{a^2}\) D. \({S_{xq}} = 4{a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính hình trụ là: \(AD = BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} - {a^2}} = 2a\) Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .2a.a = 4\pi {a^2}\).
Câu 46: Người ta cắt hai hình cầu bán kính lần lượt là R = 13 cm và \(r = \sqrt {41} \) cm để làm một hồ lô đựng rượu như hình vẽ bên. Biết đường tròn giao của hai hình cầu có bán kính bằng \(r' = 5\) cm và nút uống là một hình trụ có bán kính đáy bằng \(\sqrt 5 \) cm, chiều cao bằng 4 cm. Hỏi hồ lô đó đựng được bao nhiêu lít rượu. Kết quả được làm tròn đến một chữ số sau dấu phẩy? A. 10,5 B. 9,2 C. 10,2 D. 11,4 Spoiler: Xem đáp án Gọi V1, V2, V3 lần lượt là thể tích của khối cầu bán kinh R, r và phần giao của hai khối cầu. Khi đó thể tích mà bỏ hồ lô chứa được là \(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} + {V_t}\) Thể tích khối cầu có bán kính \(R = 13\) cm là \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) Thể tích khối cầu có bán kính \(r = \sqrt {41} \) cm là \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\) Phần giao của hai khối cầu chính là hai chỏm cầu có chiều cao lần lượt là \({h_1} = R - \sqrt {{R^2} - {{r'}^2}} = 1\) và \({h_2} = r - \sqrt {{r^2} - {{r'}^2}} = \sqrt {41} - 4\). Do đó \({V_3} = \pi h_1^2\left( {R - \frac{{{h_1}}}{3}} \right) + \pi h_2^2\left( {r - \frac{{{h_2}}}{3}} \right)\) Thể tích khối trụ là \({V_t} = \pi {r^2}h = \pi .{\left( {\sqrt 5 } \right)^2}.4 = 20\pi \) \(c{m^3}\) Vậy thể tích cần tính là \(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} + {V_t} \approx 10,2\) lít.
Câu 47: Gọi V1 là thể tích của khối trụ có diện tích toàn phần S và Vc là thể tích của khối cầu có diện tích là S. Khi đó, giá trị lớn nhất của tỉ số \(\frac{{{V_t}}}{{{V_c}}}\) bằng: A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) B. \(\frac{{\sqrt 6 }}{4}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) D. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Chuẩn hóa \(S = 4\pi \). Gọi khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Khi đó \(S = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 4\pi \Rightarrow rh + {r^2} = 2 \Leftrightarrow h = \frac{{2 - {r^2}}}{r} = \frac{2}{r} - r\) Thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}\left( {\frac{2}{r} - r} \right) = \pi \left( {2r - {r^3}} \right)\) Gọi bán kính khối cầu là R suy ra \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \Rightarrow R = 1 \Rightarrow {V_c} = \frac{4}{3}\pi \) Do đó \(\frac{{{V_t}}}{{{V_c}}} = \frac{{\pi \left( {2r - {r^3}} \right)}}{{\frac{4}{3}\pi }} = \frac{3}{4}.\left( {2r - {r^3}} \right)\). Xét hàm số \(f\left( r \right) = 2r - {r^3},r > 0\) Ta có \(f'\left( r \right) = 2 - 3{r^2} = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\). Dựa vào bảng biến thiên, suy ra \(\min f\left( r \right) = f\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right) = \frac{{4\sqrt 6 }}{9} \Rightarrow \min \frac{{{V_t}}}{{{V_c}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
Câu 48: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác cân, cạnh bên bằng 1, góc ở đỉnh bằng 1200. Thể tích khối nón bằng: A. \(\frac{{\sqrt 3 \pi }}{8}\) B. \(\pi \) C. \(\frac{\pi }{4}\) D. \(\frac{\pi }{8}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi đường kính đáy của hình nón là a. Theo định lí Cosin, ta có \({a^2} = {1^2} + {1^2} - 2.1.1\cos {120^0} = 3 \Rightarrow a = \sqrt 3 \Rightarrow R = \frac{a}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Chiều cao của hình nón là \(h = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{1}{2}\). Thể tích khối nón là \(V = \frac{\pi }{8}.\)
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(S\left( {2; - 4;4} \right)\) trên các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy). Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. \(4\pi \) B. \(25\pi \) C. \(36\pi \) D. \(56\pi \) Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy SA, SB, SC đôi một vuông góc. Do đó \(R = \frac{{\sqrt {S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}} }}{2} = 3 \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi .\)
Câu 50: Thể tích của một khối trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng \(4\pi \) là: A. \(\pi \) B. \(16\pi \) C. \(2\pi \) D. \(3\pi \) Spoiler: Xem đáp án Gọi a là chiều cao của khối trụ suy ra khối trụ có bán kính bằng \(\frac{a}{2}.\) Ta có \({S_{xq}} = 2\pi .\frac{a}{2}.a = 4\pi \Leftrightarrow a = 2\). Thể tích của khối trụ \(V = \pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.a = \pi {.1^2}.2 = 2\pi \).
