Câu 51: Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại A. Biết rằng \(AB = {\rm{AA'}} = a;\,\,AC = 2{\rm{a}}.\) Gọi M là trung điểm của AC. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(M.A'B'C'\) là: A. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\) B. a C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) D. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy: \(R = \sqrt {{R_d}^2 + {{\left( {\frac{h}{2}} \right)}^2}} ,\) trong đó \({R_d},h\) lần lượt là bán kính tròn ngoại tiếp và chiều cao của hình chóp. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'B' \bot A'C'\\A'B' \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow A'B' \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow A'B' \bot (MA'C').\) \(\begin{array}{l}MA' = MC' = \sqrt {AA{'^2} + {{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \\A'C' = AC = 2a.\end{array}\) \({S_{MA'C'}} = \frac{1}{2}d\left( {M,A'C'} \right).A'C' = \frac{1}{2}.AA'.A'C' = {a^2}.\) Gọi \({R_d}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MA’C’. Ta có: \({S_{MA'C'}} = \frac{{MA'.MC'.A'C'}}{{4.{R_d}}} \Leftrightarrow {R_d} = \frac{{MA'.MC'.A'C'}}{{4.{S_{MA'C'}}}} = \frac{{a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .2a}}{{4{a^2}}} = a.\) Hình chóp M.A’B’C’ có \(B'A' \bot (MA'C')\) nên có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: \(R = \sqrt {{R_d}^2 + {{\left( {\frac{{A'B'}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
Câu 52: Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD (xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7,2 cm; đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm; đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm. Kem được đỏ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau: A. 132 \(d{m^3}.\) B. 293 \(d{m^3}.\) C. 954 \(d{m^3}.\) D. 170 \(d{m^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của một chiếc kem cần tính bao gồm: Thể tích của hình nón cụt có bán kính đáy lớn \({R_1} = 3,2cm;\,\,\)bán kính đáy nhỏ \({r_1} = 0,8cm\) và chiều cao \(h = 7,2cm.\) Thể tích của nửa khối cầu có bán kính \(R = 3,7cm\). Suy ra: \(V = \frac{1}{3}\pi h\left( {R_1^2 + {R_1}{r_1} + r_1^2} \right) + \frac{2}{3}\pi {R^3}\) \( = \frac{1}{3}\pi .7,2\left( {{{3,2}^2} + 3,2.0,8 + {{0,8}^2}} \right) + \frac{2}{3}\pi {.3,2^3} = \frac{{20288\pi }}{{375}} \approx 170c{m^3}.\) Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là \({170.10^3}c{m^3} = 170{\rm{d}}{m^3}.\)
Câu 53: Một khối trụ có thể tích bằng 16p. Nếu chiều cao của khối trụ tăng lên 2 lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 16p. Bán kính đáy của khối trụ bằng bao nhiêu? A. 1 B. 8 C. 4 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(16\pi = \pi {{\rm{r}}^2}h \Rightarrow {r^2}h = 16\) Lại có \(16\pi = 2\pi {\rm{r}}\left( {2h} \right) \Rightarrow h{\rm{r}} = 4 \Rightarrow r = \frac{{16}}{4} = 4.\)
Câu 54: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng \(\pi .\) Chiều cao của hình nón bằng: A. \(\sqrt 3 .\) B. \(\sqrt 5 .\) C. \(1.\) D. \(\sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án \(l = 2{\rm{r}};\,\,{S_d} = \pi {{\rm{r}}^2} = \pi \Rightarrow r = 1;\,\,l = 2 \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt 3 .\)
Câu 55: Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ \(AB = 1,\) đáy lớn \(C{\rm{D}} = 3,\) cạnh bên \(B{\rm{D}} = DA = \sqrt 2 .\) Cho hình thang đó quay quanh AB, ta được vật tròn xoay có thể tích bằng: A. \(\frac{{4\pi }}{3}.\) B. \(\frac{{7\pi }}{3}.\) C. \(\frac{{5\pi }}{3}.\) D. \(3\pi .\) Spoiler: Xem đáp án Dựng trục AB và mặt phẳng thiết diện như hình vẽ. Thể tích khối tròn xoay cần tính bằng: \(V = {V_t} - 2{V_n}\) với: \({V_t}\) là thể tích khối trụ có chiều cao \(h = C{\rm{D}}\), bán kính đường tròn đáy \(R = HC = BK = \sqrt {B{C^2} - \frac{{{{\left( {C{\rm{D}} - AB} \right)}^2}}}{4}} = 1 \Rightarrow {V_t} = 3\pi .\) \({V_n}\) là thể tích khối nón có chiều cao: \(h = BC = \sqrt {B{C^2} - H{C^2}} = 1,\) bán kính đường tròn đáy \(R = HC = 1 \Rightarrow {V_n} = \frac{\pi }{3}.\) Vậy thể tích cần tính là \(V = {V_t} - 2{V_n} = 3\pi - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{3}.\)
Câu 56: Cho hình nón đỉnh S và đường tròn đáy có tâm O. Điểm A thuộc đường tròn đáy. Tính số đo góc \(\widehat {SAO}\) biết tỉ số giữa diện tích xung quang và diện tích đáy của hình nón là \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}.\) A. \({120^o}.\) B. \({45^o}.\) C. \({30^o}.\) D. \({60^o}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi h là chiều cao của hình nón và r là bán kính đường tròn đáy. Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi {\rm{r}}l = \pi {\rm{r}}\sqrt {{r^2} + {h^2}} .\) Diện tích đường tròn đáy: \(S = \pi {{\rm{r}}^2}.\) Từ giả thiết ta có: \(\frac{{{S_{xq}}}}{S} = \frac{{\pi {\rm{r}}\sqrt {{r^2} + {h^2}} }}{{\pi {r^2}}} = \frac{{\sqrt {{r^2} + {h^2}} }}{r} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow r = h\sqrt 3 .\) Tam giác SAO vuông tại O, ta có \(\tan \widehat {SAO} = \frac{{SO}}{{AO}} = \frac{h}{r} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SAO} = {30^o}.\)
Câu 57: Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính R. Một hình nón \(\left( N \right)\) có chiều cao \(x\left( {0 < x < 2R} \right)\) nội tiếp trong hình cầu \(\left( S \right).\) Gọi \({V_S},{V_N}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \(\left( S \right)\) và khối nón \(\left( N \right).\) Giá trị lớn nhất của tỉ số \(\frac{{{V_N}}}{{{V_S}}}\) bằng bao nhiêu? A. \(\frac{1}{3}.\) B. \(\frac{8}{{27}}.\) C. \(\frac{9}{{32}}.\) D. \(\frac{1}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Mặt phẳng thiết diện vuông góc với đáy của hình nón và đi qua đường cao của hình nón như hình vẽ bên. Chuẩn hóa \(R = 1,HM = x\) là chiều cao của khối nón Tam giác IMA vuông tại M, có \(AM = \sqrt {I{A^2} - I{M^2}} = \sqrt {2{\rm{x}} - {x^2}} .\) Khối nón (N) có chiều cao \(h = x,\) bán kính đáy \(r = AM = \sqrt {2x - {x^2}} .\) \( \Rightarrow {V_N} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \left( {2{\rm{x}} - {x^2}} \right)x = \frac{1}{3}\pi {{\rm{x}}^2}\left( {2 - x} \right) = \frac{4}{3}\pi .\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\left( {2 - x} \right)\) \(\,\,\,\,\, \le \frac{4}{3}\pi .\frac{{{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + 2 - x} \right)}^3}}}{{27}} = \frac{4}{3}\pi .\frac{{{2^3}}}{{27}} = \frac{{32}}{{81}} \Rightarrow \frac{{{V_N}}}{{{V_S}}} = \frac{{32}}{{81}}\pi :\left( {\frac{4}{3}\pi } \right) = \frac{8}{{27}}.\)
Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right),SA = a\sqrt 3 .\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(S = 5\pi {a^2}.\) B. \(S = \frac{8}{3}\pi {a^2}.\) C. \(S = 2\pi {a^2}.\) D. \(S = 4\pi {a^2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có các tam giác SBC, SDC, SAC lần lượt vuông tại B, D, A và có chung cạnh huyền SC. Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD chính là trung điểm I của SC. Ta có: \(R = IS = IC = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\) Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S = 4\pi {R^2} = 5\pi {a^2}.\)
Câu 59: Một khối cầu bằng thép có bán kính 5m. Để làm một chiếc lu đựng nước, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng cách nhau 6m và cùng vuông góc với đường kính AB, tạo thành thiết diện ở hai đáy là hai hình tròn tâm I và I’ như hình vẽ. Mặt phẳng ở dưới đáy (chứa I) cách tâm O của khối cầu a (m). Sau khi cắt, đáy dưới được hàn kín lại bằng tấm hình tròn, đáy trên để trống. Giả sử mỗi mét vuông thép có giá 100000 đồng. Tính số tiền tối thiểu mua thép để hàn kín đáy dưới biết chiếc lu chứa được đúng \(126\pi \,\left( {{m^3}} \right)\) nước. (Coi bề dày của khối cầu và tấm thép ở đáy không đáng kể, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng). A. 2 triệu 827 nghìn đồng. B. 2 triệu 513 nghìn đồng. C. 3 triệu 140 nghìn đồng. D. 3 triệu 768 nghìn đồng. Spoiler: Xem đáp án Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng \(\left\{ \begin{array}{l}IA = OA - OI = 5 - a\\I'B = AB - AI - I'I = 10 - \left( {5 - a} \right) - 6 = a - 1\end{array} \right..\) Thể tích của khối cầu bán kính \(R = 5\) là \({V_0} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{500}}{3}\pi .\) Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao \({h_1} = I'B\) là: \({V_1} = \pi h_1^2\left( {R - \frac{{{h_1}}}{3}} \right) = \frac{1}{3}\pi \left( {a + 10} \right){\left( {5 - a} \right)^2}.\) Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao \({h_2} = IA\) là: \({V_2} = \pi h_2^2 = \left( {R - \frac{{{h_2}}}{3}} \right) = \frac{1}{3}\pi \left( {16 - a} \right){\left( {a - 1} \right)^2}.\) Vậy thể tích của chiếc lu bằng \(V = {V_0} - {V_1} - {V_2} = 126\pi .\) \( \Leftrightarrow 122 = \left( {a + 10} \right){\left( {5 - a} \right)^2} + \left( {16 - a} \right){\left( {a - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = 4\end{array} \right. \Rightarrow \) chọn \(a = 4\) để diện tích đáy dưới là nhỏ nhất. Khi đó, bán kính đường tròn đáy là \(r = \sqrt {{R^2} - {a^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3 \Rightarrow S = \pi {{\rm{r}}^2} = 9\pi .\) Vậy số tiền tối thiểu cần để mua thép là \(T = 100000S = 900000\pi \approx \)2 triệu 827 nghìn đồng.
Câu 60: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón là: A. 2 B. 8 C. 6 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(R = \frac{2}{3}SO;r = \frac{1}{3}SO;\frac{R}{r} = 2\) Do đó \(\frac{{{V_{ng}}}}{{{V_n}}} = \frac{{{R^3}}}{{{r^3}}} = 8.\)
