Câu 61: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a, góc giữa A'C và (ABC) bằng 600. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(C'.ABB'A'\). A. \(S = \frac{{5\pi }}{4}{a^2}\) B. \(S = \frac{{5\pi }}{2}{a^2}\) C. \(S = 5\pi {a^2}\) D. \(S = \frac{{5\pi }}{6}{a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy \(\widehat {A'C;\left( {ABC} \right)} = \widehat {A'CA} = {60^0}\) Khi đó \(AA' = h = AC\tan {60^0} = a\sqrt 3 \) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(C'.ABB'A'\) bằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ Ta có: \(R = \sqrt {R_d^2 + {{\left( {\frac{h}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) Do đó \(S = 4\pi {R^2} = 5\pi {a^2}.\)
Câu 62: Một hình trụ có bán kính đáy là 4cm và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích V của khối trụ đó. A. \(V = 64\pi c{m^3}\) B. \(V = 128\pi c{m^3}\) C. \(V = 32\pi c{m^3}\) D. \(V = 256\pi c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Chiều cao của hình trụ là \(h = 2r = 8\left( {cm} \right)\) suy ra \(V = \pi {r^2}h = 128\pi \left( {c{m^3}} \right).\)
Câu 63: Hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu nếu đáy và tất cả các đường sinh của nó đều tiếp xúc với mặt cầu. Cho mặt cầu bán kính \(R = \sqrt 3 \), tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối nón được tạo ra bởi hình nón ngoại tiếp mặt cầu. A. \(V = \frac{{20\pi \sqrt 2 }}{3}\) B. \(V = \frac{{26\pi \sqrt 2 }}{3}\) C. \(V = 8\pi \sqrt 3 \) D. \(V = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\widehat {OIA} = a \Rightarrow \widehat {SIM} = 180^\circ - 2a\) Ta có: \(OA = R\tan a;SI = \frac{{MI}}{{\cos \widehat {SIM}}} = \frac{R}{{\cos \left( {180^\circ - 2a} \right)}} = \frac{R}{{ - \cos 2a}}\) Suy ra \({V_N} = \frac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {R^2}{\tan ^2}a.\left( {\frac{{ - R}}{{\cos 2a}} + R} \right)\) \( = \frac{1}{3}\pi {R^3}.{\tan ^2}a\left( {1 - \frac{1}{{\cos 2a}}} \right)\) Xét \({\tan ^2}a\left( {1 - \frac{1}{{\cos 2a}}} \right) = {\tan ^2}a.\frac{{ - 2{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a}} = \frac{{ - 2{{\tan }^4}a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\,\,\,\,f\left( t \right) = \frac{{2{t^2}}}{{t - 1}}\,\left( {t = {{\tan }^2}a > 0} \right)\) Suy ra \(f'\left( t \right) = 2.\frac{{{t^2} - 2t}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow \min f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = 8 \Rightarrow {V_{\min }} = \frac{1}{3}.\pi .3\sqrt 3 .8 = 8\pi \sqrt 3 \)
Câu 64: Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là r, trong đó ba mặt tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính chiều cao của hình nón. A. \(r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\) B. \(r\left( {2 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\) C. \(r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\) D. \(r\left( {1 + \sqrt 6 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi S, A, B, C lần lượt là tâm của các mặt cầu thứ tư và ba mặt cầu tiếp xúc đáy (như hình vẽ) Khi đó S.ABC là khối tứ diện đều cạnh 2r. Gọi I là tâm của tam giác \(ABC \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\) Tam giác ABC đều cạnh \(2r \Rightarrow AI = \frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}\) Tam giác SAI vuông tại I, có \(SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {4{r^2} - {{\left( {\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}r\) Ta thấy rằng \(\Delta SMH \sim \Delta ASI\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SH}}{{AI}} \Rightarrow SM = \frac{{SA.AH}}{{AN}} = \frac{{2r.r}}{{\frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}}} = r\sqrt 3 \) Vậy chiều cao của khối nón là \(h = SM + SI + ID = r\sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}r + r = r\left( {1 + \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right).\)
Câu 65: Cho lục giá đều ABCDEF có cạnh bằng 4. Cho lục giác đều đó quanh quay đường thẳng AD. Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra. A. \(V = 128\pi \) B. \(V = 32\pi \) C. \(V = 16\pi \) D. \(V = 64\pi \) Spoiler: Xem đáp án Khi quay lục giác đã cho quanh AD ta được 2 hình nón và một hình trụ Hình trụ có chiều cao \(h = BC = 4\) và bán kính đáy \(r = BH = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \) Hình nón có chiều cao \(h' = AH = 2\) và bán kính đáy \(r = BH = 2\sqrt 3 \) Khi đó \(V = \pi {r^2}h + \frac{2}{3}\pi {r^2}h' = 64\pi .\)
Câu 66: Cho hình nón có bán kính đáy \(R = \sqrt 5 \) và độ dài đường sinh \(l = 3\sqrt 5 \,\). Tính thể tích V của khối nón. A. \(V = \frac{{10\pi \sqrt {10} }}{9}\) B. \(V = \frac{{10\pi \sqrt {10} }}{3}\) C. \(V = 10\pi \sqrt {10} \) D. \(V = 5\pi \sqrt 5 \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} = 2\sqrt {10} \Rightarrow {V_N} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .5.2.\sqrt {10} = \frac{{10\pi \sqrt {10} }}{3}.\)
Câu 67: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), bán kính đáy bằng R, chiều cao có độ dài bằng 2R. Một mặt phẳng đi qua trung điểm OO’ và tạo với OO’ một góc \({30^0}\) thì cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài m. Tính m theo R. A. \(m = \frac{{4\sqrt 3 R}}{9}\) B. \(m = \frac{{2R}}{3}\) C. \(m = \frac{{2\sqrt 6 R}}{3}\) D. \(m = R\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I, J lần lượt là trung điểm của OO’ và AB Ta có: \(\widehat {JIO} = {30^0}\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I{\rm{O}}' = \sqrt {{R^2} - \frac{{{m^2}}}{4}} }\\{I{\rm{O}}' = R}\end{array}} \right. \Rightarrow \tan {30^0} = \frac{{JO'}}{{I{\rm{O}}'}} \Leftrightarrow \frac{R}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{m^2}}}{4}} \Leftrightarrow m = \frac{{2R\sqrt 6 }}{3}\)
Câu 68: Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón có bán kính đáy là đường sinh có độ dài lần lượt là 3cm và 12cm. A. \({S_{xq}} = 108\pi c{m^2}\) B. \({S_{xq}} = 72\pi c{m^2}\) C. \({S_{xq}} = 36c{m^2}\) D. \({S_{xq}} = 36\pi c{m^2}\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi .3.12 = 36\pi c{m^2}.\)
Câu 69: Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P). Gọi I là khoảng cách từ I đến (P). Mệnh đề nào sau đây sai? A. (P) qua tâm I của (S) khi và chỉ khi \(d = 0\) B. (P) không cắt (S) khi và chỉ khi \(d > R\) C. (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d = R\) D. (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d < R\) Spoiler: Xem đáp án (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d = R\) là khẳng định đúng.
Câu 70: Đường sinh của một hình nón có độ dài bằng \(2a\) và hợp với đáy một góc \({60^0}\). Tính diện tích toàn phần hình nón đã cho. A. \(3\pi {a^2}\) B. \(5\pi {a^2}\) C. \(\pi {a^2}\) D. \(2\pi {a^2}\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
