Câu 71: Khi dựng nhà bằng gỗ, người ta thường kê dưới chân mỗi cột một viên đá để không bị nhanh hỏng chân cột theo thời gian (gọi là đá táng). Càng về sau càng có nhiều nghệ nhân làm đá một cách tinh xảo và đẹp mắt. Xét viên đá tang được chia làm ba phần (như hình bên). Phần dưới cùng là khối chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy nhỏ bằng 180mm, cạnh đáy lớn là 200mm. Phần ở giữa là một phần của khối cầu có tâm trùng với tâm đáy nhỏ của khối chóp cụt và bán kính \(R = 50\sqrt {97} mm\), khối cầu này cắt đáy lớn của khối chóp cụt theo giao diện là một hình tròn nội tiếp lục giác đều. Phần trên cùng là khối trụ có chiều cao 12mm. Chiều cao của viên đá là 482mm. Tính thể tích của viên (khối) đá táng đó (lấy kết quả gần đúng đến mm3)? A. $44988430 mm^3$. B. $44999430 mm^3$. C. $44998430 mm^3$. D. $44898430 mm^3$. Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 72: Một hình trụ có bán kính đáy R = 5, chiều cao \(h = 2\sqrt 3 \). Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 600. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. A. 3 B. 4 C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\) D. \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có \(OA = O'B = R\). Gọi AA' là đường sinh của hình trụ thì O'A = R; AA' = h và \(\widehat {BAA'} = {60^0}\). Vì \({\rm{OO}}'\parallel \left( {ABA'} \right)\) nên \(d\left[ {OO',\left( {AB} \right)} \right] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} \right)} \right] = d\left[ {O',\left( {ABA'} \right)} \right]\). Gọi H là trung điểm A'B. \( \Rightarrow \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} \right) \Rightarrow d\left[ {O',\left( {ABA'} \right)} \right] = O'H\) Tam giác ABA' vuông tại A' nên \(BA' = AA'.tan{60^0} = h\sqrt 3 = 6\) Tam giác A'HO' vuông tại H, có \(O'H = \sqrt {O'A{'^2} - A'{H^2}} = 4\).
Câu 73: Cho hình trụ có bán kính bằng R và diện tích toàn phần bằng \(4\pi {R^2}\). Tính thể tích V của khối trụ tạo bởi hình trụ đó. A. \(V = 2\pi {R^3}.\) B. \(V = \frac{{2\pi {R^3}.}}{3}\) C. \(V = 3\pi {R^3}.\) D. \(V = \pi {R^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 74: Cho hình nón có chiều cao bằng đường kính đáy và bằng 2. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. A. \(S = \pi \sqrt 3 .\) B. \(S = 2\pi \sqrt 3 .\) C. \(S = \pi \sqrt 5 .\) D. \(S = 2\pi \sqrt 5 .\) Spoiler: Xem đáp án Bán kính đáy hình nón là: R = 1. Độ dài đường sinh của hình nón là: \(l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \). Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .1.\sqrt 5 = \sqrt 5 \pi \).
Câu 75: Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD = a,AC = BD=AD = BC = b\). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: A. \(R = \sqrt {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{8}} .\) B. \(R = \sqrt {\frac{{2{a^2} + {b^2}}}{8}} .\) C. \(R = \sqrt {\frac{{{a^2} + 2{b^2}}}{2}} .\) D. \(R = \sqrt {\frac{{2{a^2} + {b^2}}}{2}} .\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 76: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy lớn \(AB = 2a,AB = BC = a\). Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{8\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}.\) B. \(V = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{2}.\) C. \(V = \frac{{64\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}.\) D. \(V = 8\sqrt 2 \pi {a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I, O lần lượt là trung điểm của AD và SD. Ta có BI là đường trung tuyến của tam giác BAD và \(BI = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta BAD\) là tam giác vuông \( \Rightarrow BD \bot SB \Rightarrow O\) cách đều 3 điểm S, B, D. Tương tự O cách đều 3 điểm S, C, D. Mà \(\Delta SAD\) vuông nên O cách đều 3 điểm S, A, D. Vậy O là tâm của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 2 \) Bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(R = SO = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \) Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^3} = \frac{{8\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\).
Câu 77: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng α với \(\tan \alpha = \sqrt 5 \). Tính thể tích V của khối nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. A. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 5 }}{{81}}.\) B. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 5 }}{{27}}.\) C. \(V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 5 }}{9}.\) D. \(V = \frac{{5\pi {a^3}}}{{81}}.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 78: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và \(SA = SB = a,SC = a\sqrt 2 \). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng: A. \(4\pi {a^2}.\) B. \(\frac{4}{3}\pi {a^2}.\) C. \(\pi {a^2}.\) D. \(\frac{3}{4}\pi {a^2}.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 79: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 12a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng: A. \(4\pi {a^3}\). B. \(6\pi {a^3}\). C. \(5\pi {a^3}\). D. \(\pi {a^3}\). Spoiler: Xem đáp án Gọi chiều cao của hình trụ là h. Gọi P là chu vi thiết diện ta có: \(P = 2h + 2.(2R) \Rightarrow h = \frac{{P - 4R}}{2} = \frac{{12a - 4a}}{2} = 4a.\) Thể tích của khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi {a^2}.4a = 4\pi {a^3}\).
Câu 80: Cho một khối nón có bán kính đáy bằng 3 và thể tích bằng \(12\pi \). Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng: A. \(15\pi \). B. \(45\pi \). C. \(30\pi \). D. \(60\pi \). Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
