Câu 91: Một nguyên hàm \(\int {\left( {x - 2} \right)\sin 3{\rm{x}}{\rm{.dx}} = - } \frac{{\left( {x - a} \right)\cos 3x}}{b} + \frac{1}{c}\sin 3x + 2017,\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(S = ab + c.\) A. \(S = 15.\) B. \(S = 10.\) C. \(S = 14.\) D. \(S = 3.\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 2\\dv = \sin 3{\rm{xdx}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = d{\rm{x}}\\v = - \frac{1}{3}\cos 3x\end{array} \right. \Rightarrow \int {\left( {x - 2} \right)\sin 3{\rm{x}}.d{\rm{x}} = } - \frac{{x - 2}}{3}\cos 3x + \frac{1}{3}\int {\cos 3xdx} \) \( = - \frac{{x - 2}}{3}.\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x + 2017 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 9\end{array} \right. \Rightarrow S = ab + c = 15.\)
Câu 92: Biết \(\int\limits_0^a {\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)d{\rm{x}}} = - 4.\) Khi đó a nhận giá trị bằng: A. \(a = - 4.\) B. \(a = 4.\) C. \(a = - 2.\) D. \(a = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_0^a {\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)d{\rm{x}}} = \left. {\left( {{x^2} - 4{\rm{x}}} \right)} \right|_0^a = {a^2} - 4{\rm{a}} = - 4 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 2.\)
Câu 93: Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 4,\int\limits_1^5 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 6,\int\limits_2^5 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = 8.\) Tích phân \(\int\limits_2^5 {\left[ {4f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} .d{\rm{x}}\) có giá trị bằng: A. 12 B. 0 C. 48 D. 32 Spoiler: Xem đáp án \(\int\limits_2^5 {\left[ {4f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]d{\rm{x}}} = 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} - \int\limits_2^5 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = 4\left[ {\int\limits_2^5 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} } \right] - \int\limits_2^5 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = 32.\)
Câu 94: Cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}.\) Hai điểm A, B di động trên (P) sao cho \(AB = 2.\) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P) và đoạn thẳng AB. Tìm giá trị lớn nhất của S. A. \(\max S = \frac{4}{3}.\) B. \(\max S = \frac{7}{6}.\) C. \(\max S = \frac{5}{3}.\) D. \(\max S = \frac{5}{6}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(b > a\)là hai điểm trên Parabol và \(AB = 2.\) Khi đó phương trình đường thẳng AB là \(y - {a^2} = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{b - a}}\left( {x - a} \right) \Rightarrow y = \left( {a + b} \right)x - ab.\) Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có: \(S = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x - ab - {x^2}} \right]} .dx = \frac{1}{6}{\left( {b - a} \right)^3}.\) Ta có: \(AB = 2 \Rightarrow \left| {b - a} \right| = b - a \le 2 \Rightarrow S = \frac{1}{6}{\left( {b - a} \right)^3} \le \frac{{{2^3}}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow {S_{m{\rm{ax}}}} = \frac{4}{3}.\) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = - 1;\,\,b = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right),B\left( {1;1} \right).\)
Câu 95: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{\frac{1}{2}x}}.\) A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2{e^{\frac{1}{2}x}} + C.\) B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}{e^{\frac{1}{2}x}} + C.\) C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{\frac{1}{2}x}} + C.\) D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{3}{e^{\frac{1}{2}x}} + C.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{e^{\frac{1}{2}x}}d{\rm{x}}} = 2{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}x}} + C.\)
Câu 96: Vật thể hình đĩa bay (UFO) có thiết diện qua tâm đối xứng và hình chiếu mặt trên theo phương thẳng đứng như hình vẽ. Hãy tính thể tích của vật thể này biết \(AB = EF = 10m,GH = 6m,CD = 8m\) A. \(112\pi {m^3}\) B. \(\frac{{556}}{3}\pi {m^3}\) C. \(\frac{{337}}{3}\pi {m^3}\) D. \(\frac{{118}}{3}\pi {m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ Như vậy đĩa bay (UFO) được thành khi quay vật thể quanh trục Oy. Ta có: phương trình đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 16\) Phương trình: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left( E \right) \cap \left( C \right) = M\left( { \pm \frac{{\sqrt {175} }}{{16}}; \pm \frac{9}{4}} \right)\) Thể tích khối cầu tạo thành là: \({V_1} = 2\pi \int\limits_0^4 {{x^2}} dy = 2\pi \int\limits_0^4 {\left( {16 - {y^2}} \right)} dy = \frac{{256}}{3}\pi \) Thể tích khối Ovan được tạo thành khi quay Elip quanh trục Oy là: \({V_2} = 2\pi \int\limits_0^3 {{x^2}} dy = 2\pi \int\limits_0^4 {25\left( {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} \right)} dy = 100\pi \) Thể tích phần chung của 2 khối là \({V_3} = 2\pi \int\limits_0^{\frac{9}{4}} {\left( {16 - {y^2}} \right)} dy + 2\pi \int\limits_{\frac{9}{4}}^3 {25\left( {1 - \frac{{{y^2}}}{9}} \right)} dy = 73\pi \). Do đó thể tích vật thể là \(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \frac{{337}}{3}\pi \) \(\left( {{m^3}} \right)\)
Câu 97: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và đường thẳng \(y = x - 2\) là: A. \(\frac{{14}}{3}\) B. \(\frac{{16}}{3}\) C. \(\frac{{10}}{3}\) D. 6 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm các đồ thị là \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = x - 2\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\\x = 2\end{array} \right.\) Suy ra diện tích cần tính bằng \(S = \int\limits_0^2 {\sqrt x dx} + \int\limits_2^4 {\left[ {\sqrt x - \left( {x - 2} \right)} \right]dx} = \frac{{10}}{3}.\)
Câu 98: Một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) là: A. \(F\left( x \right) = - \cos x + \tan x + C\) B. \(F\left( x \right) = - \cos x + \tan x - \sqrt 2 + 1\) C. \(F\left( x \right) = \cos x + \tan x + \sqrt 2 - 1\) D. \(F\left( x \right) = - \cos x + \tan x + \sqrt 2 - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx = - \cos x + \tan x + C\) Mặt khác: \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow - \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + C = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow C = \sqrt 2 - 1\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = - \cos x + \tan x + \sqrt 2 - 1.\)
Câu 99: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức \(v\left( t \right) = 3t + 2,\) thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm t = 2s thì vật đi được quảng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quảng đường là bao nhiêu? A. 240m B. 1140m C. 300m D. 1410m Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_2^{30} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_2^{30} {\left( {3t + 2} \right)dt} = 1400 = S\left( {30} \right) - S\left( 2 \right) \Rightarrow S\left( {30} \right) = 1410m.\)
Câu 100: Bài toán tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {\ln x + 1} .\ln x}}{x}dx} \) được một học sinh giải theo ba bước sau: I. Đặt ẩn phụ \(t = \ln x + 1\), suy ra \(dt = \frac{1}{x}dx\) và \(x = 1 \Rightarrow t = 1;x = e \Rightarrow t = 2\) II. \(\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {\ln x + 1} .\ln x}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\sqrt t \left( {t - 1} \right)dt} \) III. \(\int\limits_1^2 {\sqrt t \left( {t - 1} \right)dt} = \left. {\left( {\sqrt {{t^5}} - \frac{2}{{\sqrt t }}} \right)} \right|_1^2 = 1 + 3\sqrt 2 \) Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai ở bước III. C. Sai từ bước II. D. Sai từ bước I. Spoiler: Xem đáp án Đúng là: \(I = \int\limits_1^2 {\sqrt t \left( {t - 1} \right)} dt = \left. {\left( {\frac{2}{5}\sqrt {{t^5}} - \frac{2}{3}\sqrt {{t^3}} } \right)} \right|_1^2 = \frac{4}{{15}}\left( {\sqrt 2 + 1} \right).\)
