Câu 101: Kết quả phép tính tích phân \(\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {3x + 1} }}} \) có dạng \(I = a\ln 3 + b\ln 5\left( {a,b \in Z} \right)\). Khi đó \({a^2} + ab + 3{b^2}\)có giá trị là: A. 4 B. 5 C. 1 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt {3x + 1} \Rightarrow {t^2} = 3x + 1 \Rightarrow 2tdt = 3dx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1,t = 2\\x = 5,t = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = \int\limits_2^4 {\frac{2}{{{t^2} - 1}}dt = \int\limits_2^4 {\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)} dt} \) \( = l\left. {n\left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right|_2^4 = 2\ln 3 - \ln 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\b = - 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + ab + 3{b^2} = 5.\)
Câu 102: Cho hai hàm số f, g liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. \(\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) B. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) C. \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) D. \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy B, C, D là các tính chât của tích phân đã được giới thiệu trong SGK Giải tích 12. A là một khẳng định sai.
Câu 103: Xét các mệnh đều sau \(\begin{array}{l}\left( 1 \right).\int {\frac{1}{{1 - 2x}}dx = - \frac{1}{2}\ln \left| {4x - 2} \right| + C} \\\left( 2 \right).\int {2x\ln \left( {x + 2} \right)dx = \left( {{x^2} - 4} \right)\ln \left( {x + 2} \right) - \int {\left( {x - 2} \right)dx} } \\\left( 3 \right).\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}dx = \frac{{ - \cot 2x}}{2} + C} \end{array}\) Số mệnh đề đúng là. A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 Spoiler: Xem đáp án \(\left( 1 \right).\int {\frac{1}{{1 - 2x}}dx = \frac{{ - 1}}{2}} \ln \left| {1 - 2x} \right| + C = - \frac{1}{2}\ln \left| {1 - 2x} \right| - \frac{1}{2}\ln 2 + C = - \frac{1}{2}\ln \left| {4x - 2} \right| + C\) \(\left( 2 \right).\int {2x\ln \left( {x + 2} \right)dx} = \left( {{x^2} - 4} \right)\ln \left( {x + 2} \right) - \int {\left( {x - 2} \right)dx} \) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln (x + 2)\\dv = 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 2}}dx\\v = {x^2} - 4\end{array} \right.\) Suy ra: \(\int {2x\ln \left( {x + 2} \right)dx} = ({x^2} - 4)\ln (x + 2) - \int {\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}dx} = ({x^2} - 4)\ln (x + 2) - \int {(x - 2)dx} \) \(\left( 3 \right).\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}dx} = \frac{{ - \cot 2x}}{2} + C\)
Câu 104: Người ta dự định xây một cây cầu có hình Parabol để bắc qua song rộng 480m. Bề dày của khối bê tông làm mặt cầu là 30cm chiều rộng của mặt cầu là 5m điểm tiếp giáp giữa mặt cầu với mặt đường cách bờ sông 5m, điểm cao nhất của khối bê tông làm mặt cầu so với mặt đường là 2m. Thể tích theo m3 của khối bê tông làm mặt cầu nằm trong khoảng nào? A. (210;220) B. (96;110) C. (490;500) D. (510;520) Spoiler: Xem đáp án Gọi đường cong tương ứng với vành trên và vành dưới của cầu lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\) Dựng hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường biểu diễn của mặt phẳng sông là trục Ox và vị trí cao nhất cây cầu có tọa độ là (0;2). Ta thấy phương trình của 2 parabol \(({C_1})\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) đều có dạng \(y = a{x^2} + b,\) dựa vào các điểm mà Parabol đi qua ta có các phương trình tương ứng: \(\begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):y = f(x) = - \frac{2}{{{{245,3}^2}}}{x^2} + 2\\\left( {{C_1}} \right):y = g(x) = - \frac{{1,7}}{{{{245}^2}}}{x^2} + 1,7\end{array}\) Diện tích mặt cắt cây cầu: \(S = 2\left( {\int\limits_0^{245,3} {f(x)dx} - \int\limits_0^{245} {g(x)dx} } \right) = \frac{{494}}{5}({m^2}).\) Suy ra thể tích cây cầu là: \(V = \frac{{494}}{5}.5 = 494\,({m^3}).\)
Câu 105: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 1\\1\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx\,\,\,} \) A. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{5}{2}\) B. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2\) C. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\,\) D. \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Xét tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \) Với \(x \ge 1\), ta có \(f\left( x \right) = x\)suy ra \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {xdx} \, = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^2 = \frac{{{2^2}}}{2}\, - \frac{{{1^2}}}{2}\, = \frac{3}{2}\) Với \(x < 1\), ta có \(f\left( x \right) = 1\) suy ra \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {dx} = 1.\) Vậy: \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}.\)
Câu 106: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(y = {x^2}\)và \(y = {m^2}\)bằng 4. A. \(\left[ \begin{array}{l}m = \sqrt[3]{3}\\m = - \sqrt[3]{3}\end{array} \right.\) B. \(m = \sqrt[3]{3}\) C. \(\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 3\end{array} \right.\) D. \(m = - 3\) Spoiler: Xem đáp án \begin{array}{l}x = m\\x = - m\end{array} Khi đó \(S = \int\limits_{ - \left| m \right|}^{\left| m \right|} {\left| {{m^2} - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_{ - \left| m \right|}^{\left| m \right|} {\left( {{m^2} - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{m^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - \left| m \right|}^{\left| m \right|} = 2{\left| m \right|^3} - \frac{{2{{\left| m \right|}^3}}}{3} = 4\) \( \Leftrightarrow {\left| m \right|^3} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt[3]{3}.\)
Câu 107: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên\(\left[ {0;3} \right]\)và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 4,\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} } = 9\). Tính\(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} \) A. \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = - 5\) B. \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = 13\) C. \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = 5\) D. \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = 9\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = 9 - 4 = 5.\)
Câu 108: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a;x = b\left( {a < b;f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall a \in \left[ {a;b} \right]} \right)\). Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay nhận được khi hình phẳng D quay quanh trục Ox là A. \(V = \int\limits_a^b {f\left( {{x^2}} \right)dx} \) B. \(V = \pi \int\limits_a^b {f\left( {{x^2}} \right)dx} \) C. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \,\) D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\)
Câu 109: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{4x}}.\) A. \(\int {{e^{4x}}dx} = {e^{4x + 1}} + C\) B. \(\int {{e^{4x}}dx} = \frac{{{e^{4x}}}}{4} + C\) C. \(\int {{e^{4x}}dx} = {e^{4x}} + C\) D. \(\int {{e^{4x}}dx} = 2{e^{4x}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {{e^{4x}}dx} = \frac{{{e^{4x}}}}{4} + C.\)
Câu 110: Gọi (T) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\), trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) tại điểm \(A\left( {1;2} \right)\). Khi quay (T) quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay đó. A. \(V = \frac{{4\pi }}{5}\) B. \(V = \frac{{8\pi }}{{15}}\) C. \(V = \pi \) D. \(V = \frac{{28\pi }}{{15}}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) tại điểm \(A\left( {1;2} \right)\) là \(d:y = 2x\) Ta có: \({x^2} + 1 > 2x,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) Suy ra thể tích cần tính bằng \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {{\left( {2x} \right)}^2}} \right]} d{\rm{x = }}\frac{{8\pi }}{{15}}\)
