Câu 111: Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua \(A\left( {1;4} \right)\) và không song song với trục tung. Tính giá trị nhỏ nhất K của diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d A. \(K = 12\sqrt 3 \) B. \(K = 4\sqrt 3 \) C. \(K = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) D. \(K = \frac{1}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng (d) cẳt parabol (P) tại hai điểm \(B\left( {b;{b^2}} \right),C\left( {c;{c^2}} \right)\) (giả sử \(c > b\)) Khi đó, phương trình đường thẳng BC là \(y = \left( {b + c} \right)x - bc\) Và S là diện tích hình phằng cần tìm, ta có \(S = \int\limits_b^c {\left[ {\left( {b + c} \right)x - bc - {x^2}} \right]} = \frac{1}{6}{\left( {c - b} \right)^3}\) (1) Vì đường thẳng (d) đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) nên \(4 = b + c - bc \Leftrightarrow b + c = 4 + ab\) (2) Viết (1) dưới dạng \({S^2} = \frac{1}{{36}}{\left[ {{{\left( {c - b} \right)}^2}} \right]^3} = \frac{1}{{36}}{\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 4ac} \right]^3}\) Kết hợp với (2), ta được \({S^2} = \frac{1}{{36}}{\left[ {{{\left( {bc + 4} \right)}^2} - 4bc} \right]^3} = \frac{1}{{36}}{\left[ {{{\left( {bc + 2} \right)}^2} + 12} \right]^3} \ge \frac{{{{12}^3}}}{{36}} = 48\) Vậy giá trị nhỏ nhất K của diện tích cần tính là \({K_{\min }} = \sqrt {48} = 4\sqrt 3 .\)
Câu 112: Biết kết quả tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right)} {e^x}d{\rm{x}}\) được viết dưới dạng \(I = a.e + b\) với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(a + 2b = 1\) B. \(a - b = 2\) C. \({a^3} + {b^3} = 28\) D. \(ab = 3\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 2x + 3}\\{dv = {e^x}d{\rm{x}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2dx}\\{v = {e^x}}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \left[ {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right]} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^1 {{e^x}d{\rm{x}}} = \left[ {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} - 2{e^x}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. = 3e - 1\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow a + 2b = 1.\)
Câu 113: Cho biết \(\int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]} d{\rm{x}} = 1\) và \(\int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]d{\rm{x}} = - 3} \). Tính giá trị của \(T = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} d{\rm{x}}\) A. \(T = \frac{1}{2}\) B. \(T = - \frac{1}{2}\) C. \(T = - \frac{5}{7}\) D. \(T = \frac{2}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 114: Cho biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} d{\rm{x}} = - 2,\int\limits_1^4 {f\left( x \right)} d{\rm{x = 3}}{\rm{,}}\int\limits_1^4 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = 7\). Mệnh đề nào sau đây sai? A. \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} d{\rm{x}} = 10\) B. \(\int\limits_3^4 {f\left( x \right)} d{\rm{x}} = 5\) C. \(\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]} d{\rm{x}} = - 2\) D. \(\int\limits_3^4 {f\left( x \right)} d{\rm{x}} = 1\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 115: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\). Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = 0,x = 0\) và \(x = 1\). Công thức tính diện tích S của (D) là công thức nào dưới đây. A. \(S = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) B. \(S = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} \) C. \(S = \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} \) D. \(S = \pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} \) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 116: Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^{2017}}\) \(\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. \({f_2}\left( x \right) = {x^{2018}} + c\left( {c \in \mathbb{R}} \right)\) B. \({f_3}\left( x \right) = 2017{x^{2018}} + c\left( {c \in \mathbb{R}} \right)\) C. \({f_1}\left( x \right) = \frac{{{x^{2018}}}}{{2018}} + c\left( {c \in \mathbb{R}} \right)\) D. \({f_4}\left( x \right) = 2016{x^{2018}} + c\left( {c \in \mathbb{R}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 117: Cho \(\int\limits_0^b {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 3} }}dx} = 2\) với \(b \in K\). Khi đó K là khoảng nào trong các khoảng sau? A. \(K = \left( {1;2} \right).\) B. \(K = \left( {0;1} \right).\) C. \(K = \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right).\) D. \(K = \left( {2;3} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 118: Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol đi qua gốc tọa độ và hai đoạn thẳng AC và BC như hình vẽ bên. A. \(S = \frac{{25}}{6}.\) B. \(S = \frac{{20}}{3}.\) C. \(S = \frac{{10}}{3}.\) D. \(S = 9.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 119: Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {x.{{\sin }^2}xdx} = \frac{\pi }{a} + \frac{{\pi \sqrt 3 }}{b} + \frac{3}{c}\), với a, b là các số nguyên. Tính S = a + 2b + c. A. S = 7. B. \(S = - 5.\) C. \(S = 4.\) D. \(S = 8.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 120: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2co{s^2}x.\) A. \(\int {f\left( x \right)} dx = x + \frac{1}{2}\sin 2x + C.\) B. \(\int {f\left( x \right)} dx = 4cosx + C.\) C. \(\int {f\left( x \right)} dx = 2\sin 2x + C.\) D. \(\int {f\left( x \right)} dx = x - \frac{1}{2}\sin 2x + C.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
