Câu 151: Tính nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}.\) A. \(\int {f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C} \) B. \(\int {f\left( x \right)dx = 2{e^{2x}} + C} \) C. \(\int {f\left( x \right)dx = - 2{e^{2x}} + C} \) D. \(\int {f\left( x \right)dx = - \frac{1}{2}{e^{2x}} + C} \) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 152: Thể tích V của vật tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 - {x^2},y = 0\) quay quanh trục Ox có kết quả là \(V = \frac{{a\pi }}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{Z};b \ne 0;\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính a + b A. 27 B. 25 C. 31 D. 11 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là \(1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\). Suy ra thể tích cần tính bằng \(V = \pi .\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{16\pi }}{{15}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 15\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 31\).
Câu 153: Biết \(\int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5 + d\ln 7\) với a, b, c, d là các số nguyên. Tính \(P = ab + cd\) A. \(P = - 5.\) B. \(P = 5.\) C. \(P = - 4.\) D. \(P = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} = \int\limits_4^5 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx = \left. {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_4^5 = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5 - \ln 7} \). Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = 2\\c = d = - 1\end{array} \right. \Rightarrow P = ab + cd = 5\).
Câu 154: Cho \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 27\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {3x} \right)dx} \) A. \(I = 18.\) B. \(I = 3.\) C. \(I = 27.\) D. \(I = 9.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 155: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\) và \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\). Tính F(4) A. \(F\left( 4 \right) = \ln \frac{3}{2} + 1.\) B. \(F\left( 4 \right) = \ln 3 - \frac{1}{2}.\) C. \(F\left( 4 \right) = \ln \frac{3}{2} - 1.\) D. \(F\left( 4 \right) = \ln 3 + \frac{1}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 156: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\) A. \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} \) B. \(\int {{e^{2x}}dx = {e^{2x}} + C.} \) C. \(\int {{e^{2x}}dx = 2{e^{2x}} + C.} \) D. \(\int {{e^{2x}}dx = 2{e^x} + C.} \) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 157: Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên \(\left[ {2;3} \right]\), \(f\left( 2 \right) = - 1,f\left( 3 \right) = - 2\). Tính \(I = \int\limits_2^3 {f'\left( x \right)} dx\). A. \(I = - 1.\) B. \(I = - 3.\) C. \(I = 1.\) D. \(I = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 158: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{a}{\pi } + {\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{4},F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4}\) . A. \(\pi - 2\). B. \(\pi - 1\). C. \(\frac{\pi }{2} - 1\). D. \(\frac{\pi }{2} - 2\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{a}{\pi } + {{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x} = \int {\left[ {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \left( {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}} \right)x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\) Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( 0 \right) = \frac{1}{4}\\F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{1}{4}\\\left( {\frac{a}{\pi } + \frac{1}{2}} \right)\frac{\pi }{4} + \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{2} + C = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \frac{1}{4}\\a = \frac{\pi }{2} - 2\end{array} \right. \Rightarrow a = \frac{\pi }{2} - 2.\)
Câu 159: Giả sử tích phân \(\int\limits_0^1 {x.\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = a + \frac{b}{c}\ln 3\). Với phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Tính tổng a+b. A. \(b + c = 6057.\) B. \(b + c = 6059.\) C. \(b + c = 6058.\) D. \(b + c = 6056.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(I = \int\limits_0^1 {x.\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = 2017\int\limits_0^1 {x.\ln \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2x + 1} \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{2}{{2x + 1}}{\rm{d}}x\\v = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{8}\end{array} \right.\) Do đó \(\int\limits_0^1 {x.\ln \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\ln \left( {2x + 1} \right)} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{8}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{8}} \right)\frac{2}{{2x + 1}}} \right){\rm{d}}x} \) \( = \left. {\frac{3}{8}\ln 3 - \left( {\frac{{{x^2} - x}}{4}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{8}\ln 3\) \( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {x.\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = 2017\left( {\frac{3}{8}\ln 3} \right) = \frac{{6051}}{8}\ln 3.\) Khi đó \(b + c = 6059.\)
Câu 160: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc \(v\left( t \right) = 160 - 10t\,\left( {m/s} \right)\). Hỏi rằng trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét? A. 16 m B. 130 m C. 170 m D. 45 m Spoiler: Xem đáp án Cho đến khi vật dừng lại thì vận tốc của vật bằng 0 tức là \(160 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 16.\) Nên quãng đường vật đi được trong 3s cuối được tính bằng: \(\int\limits_{13}^{16} {\left( {160 - 10t} \right)dt} = \left. {\left( {160t - 5{t^2}} \right)} \right|_{13}^{16} = 45\,km.\)
