Câu 161: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\); tiệm cận ngang và hai đường thẳng \(x = 3;x = e + 2\) được tính bằng công thức nào sau đây? A. \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}dx} \) B. \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\frac{5}{{x - 2}}dx} \) C. \(S = \left. {\ln \left| {x - 2} \right|} \right|_3^{e + 2}\) D. \(S = 5 - e\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) nhận đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm ngang. Ta có diện tích hình phẳng được tính bởi công thức: \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\left| {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} - 2} \right|dx} = \int\limits_3^{e + 2} {\left| {\frac{5}{{x - 2}}} \right|dx} = \int\limits_3^{e + 2} {\left( {\frac{5}{{x - 2}}} \right)dx} \)
Câu 162: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi \(y = 2 - {x^2};y = 1\) quanh trục Ox. A. \(S = \frac{{56}}{{15}}\pi \) B. \(S = \frac{{15}}{{56}}\pi \) C. \(S = \frac{{56}}{{15}}\) D. \(S = \frac{{15}}{{56}}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(2 - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\) Ta có: \(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left( {2 - {x^2}} \right)}^2} - {1^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|dx} \\ = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{1}{5}{x^5} - \frac{4}{3}{x^3} + 3x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{56}}{{15}}\pi .\end{array}\)
Câu 163: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\). A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\) B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\) C. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2{x^3} - \frac{3}{x} + C\) D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C\) Spoiler: Xem đáp án \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C.\)
Câu 164: Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau: A. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K. B. Mọi hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. C. Với mỗi hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên K, hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K khi \(f'\left( x \right) = F\left( x \right)\). D. Nếu \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right).u'\left( x \right)dx} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C.\) Spoiler: Xem đáp án Với mệnh đề A: Đây là mệnh đề đúng, vì ta đã học công thức tính nguyên hàm và có là cộng thêm hằng số C. Mỗi biểu thức với C khác nhau sẽ là một nguyên hàm của hàm số đã cho. Với mệnh đề B: Đây là mệnh đề đúng, với hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên K thì sẽ có nguyên hàm trên K. Với mệnh đề C: Ta nhận thấy \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)\) khi \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Vậy C chính là mệnh đề sai.
Câu 165: Tìm hàm F(x) biết \(F'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x\) và \(F\left( 0 \right) = 1.\) A. \(F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\) B. \(F\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2} + 1\) C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 1\) D. \(F\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F\left( x \right) = \int {F'\left( x \right)} dx = \int {\left( {3{x^2} - 4x} \right)dx} = {x^3} - 2{x^2} + C\) mà \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\) Vậy hàm số \(F\left( x \right)\) cần tìm là \(F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1.\)
Câu 166: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = 1,y = \frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right).\) A. \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}\) B. B. \(S = \sqrt 3 \) C. \(S = \frac{{4\sqrt 3 }}{{15}}\) D. \(S = \frac{{16\sqrt 3 }}{{15}}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d) là: \(\frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \) Khi đó, diện tích S cần tính là: \(S = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {1 - \frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right)} \right|} dx = \frac{1}{9}.\int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2}dx} \Rightarrow S = \frac{{16\sqrt 3 }}{{15}}.\)
Câu 167: Tìm \(a \in \mathbb{R}\) để \(\int\limits_1^a {\left( {a - 4x} \right)} dx \ge 6 - 5a.\) A. \(a \in \emptyset \) B. \(a = 2\) C. \(a > 0\) D. \(a \ne 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_1^a {\left( {a - 4x} \right)} dx = \left. {\left( {ax - 2{x^2}} \right)} \right|_1^a = \left( {{a^2} - 2{a^2}} \right) - \left( {a - 2} \right) = 2 - a - {a^2}\) Khi đó \(\int\limits_1^a {\left( {a - 4x} \right)dx} \ge 6 - 5a \Leftrightarrow 2 - a - {a^2} \ge 6 - 5a \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow a = 2\)
Câu 168: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = {x^3}.\) A. \(S = \frac{1}{2}\) B. \(S = \frac{5}{{12}}\) C. \(S = 1\) D. \(S = \frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là \(\sqrt x = {x^3} \Leftrightarrow x = {x^6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\) Vậy diện tích cần tính là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^3}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^3}} \right)dx} = \left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. = \frac{5}{{12}}.\)
Câu 169: Tìm \(\alpha \) để \(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)} dx \ge 0.\) A. \( - 1 \le \alpha < 0\) B. \(\alpha \le - 1\) C. \(\alpha \le - 3\) D. \(\alpha = - 5\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(t = - x \Rightarrow dt = - dx. \) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \alpha \Rightarrow t = - \alpha \\ x = 0 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\) Ta có: \(\begin{array}{l}\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)dx} = - \int\limits_{ - \alpha }^0 {({3^{2t}} - {{2.3}^t})dt} \\ = \int\limits_0^{ - \alpha } {({3^{2t}} - {{2.3}^t})dt} = \int\limits_0^{ - \alpha } {{3^{2t}}dt} - 2.\int\limits_0^{ - \alpha } {{3^t}dt} \\ = \frac{1}{2}.\left. {\frac{{{3^{2t}}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ - \alpha } - 2.\left. {\frac{{{3^t}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ - \alpha } = \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ - 2\alpha }} - {{4.3}^{ - \alpha }} + 3} \right)\end{array}\) Theo đề bài ta có: \(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ - 2x}} - {{2.3}^{ - x}}} \right)dx} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ - 2\alpha }} - {{4.3}^{ - \alpha }} + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {3^{ - 2\alpha }} - {4.3^{ - \alpha }} + 3 \ge 0\) Đặt: \(t = {3^{ - \alpha }},t > 0\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - 4t + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t \ge 3\\ t \le 1 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < t \le 1}\\{t \ge 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^\alpha } \le 1}\\{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^\alpha } \ge 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha \ge 0}\\{\alpha \le - 1}\end{array}} \right.\)
Câu 170: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = 7,\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 5\). Khi đó \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx\) bằng: A. 12 B. 2 C. -2 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - 5 + 7 = 2.\)
