Câu 171: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = {x^2},\forall x \in \mathbb{R}\) . Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx.\) A. \(I = \frac{2}{3}\) B. \(I = 1\) C. \(I = 2\) D. \(I = \frac{1}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = {x^2} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \) \( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}} dx\) Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1,t = 1}\\{x = 1,t = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)} dx = - \int\limits_1^{ - 1} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} \) \( = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx\) Suy ra \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{2}{3} \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{1}{3}.\)
Câu 172: Một ô tô đang chuyển động đều với vân tốc \(a\left( {m/s} \right)\) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 5t + a\left( {m/s} \right)\), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi vận tốc ban đầu a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 (m). A. 10 (m/s) B. 20 (m/s) C. 40 (m/s) D. 25 (m/s) Spoiler: Xem đáp án Ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = - 5t + a = 0 \Rightarrow t = \frac{a}{5}\left( s \right)\) Theo đề bài ta có \(S\left( t \right) = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5t + a} \right)} dt = 40 \Rightarrow \left( { - \frac{5}{2}{t^2} + at} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{5}}\\0\end{array} = 40} \right.\) \( \Leftrightarrow - \frac{{{a^2}}}{{10}} + \frac{{{a^2}}}{5} = 40 \Rightarrow a = 20\left( {m/s} \right).\)
Câu 173: Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) biết rằng \(F'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) và đồ thị hàm số F(x) đi qua điểm \(M\left( {\frac{\pi }{6};0} \right).\) A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \) B. \(F\left( x \right) = \cot x + \sqrt 3 \) C. \(F\left( x \right) = \tan x + \sqrt 3 \) D. \(F\left( x \right) = - \cot x + \sqrt 3 \) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot x + C\) Mặt khác đồ thị hàm số \(F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{\pi }{6};0} \right) \Rightarrow - \cot \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + C = 0 \Rightarrow C = \sqrt 3 \) Suy ra \(F\left( x \right) = - \cot x + \sqrt 3 .\)
Câu 174: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - {\cot ^2}x.\) A. \(y = \frac{1}{{\sin x}} - \frac{1}{{\cos x}}\) B. \(y = \tan x - \cot x\) C. \(y = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}\) D. \(y = \tan x + \cot x\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {\left( {{{\tan }^2}x - {{\cot }^2}x} \right)} dx = \int {\left( {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \) \( = \tan x + \cot x + C\)
Câu 175: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng \(4\sqrt 5 \left( m \right)\). Trên đó người thiết kế hai phần để tròng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trong (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng 4m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 200.000 đồng/1m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) A. 3.895.000 đồng B. 1.948.000 đồng C. 2.388.000 đồng D. 1.194.000 đồng Spoiler: Xem đáp án Ta có: Tung độ các điểm \(A,\,{\bf{B}}\) là: \({y_A} = {y_B} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}} = 4\) Parabol đi qua các điểm O(0;0), A(-2;4), B(2;4) nên có phương trình là: \(y = {x^2}.\) Phương trình của đường tròn tâm O(0;0), đường kính \(4\sqrt 5 \) là: \({x^2} + {y^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} \Rightarrow y = \sqrt {20 - {x^2}} \) Vậy: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {20 - {x^2}} ,y = {x^2},x = - 2,x = 2\) được tô màu trong hình bên, S2 là diện tích nửa hình tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 5 \). \( \Rightarrow S = \frac{1}{2}\pi {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx} \). Suy ra \(S \approx 19,476\left( {{m^2}} \right)\) Chi phí sẽ bằng 200.000.S=3.895.000 đồng
Câu 176: Cho mặt phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = x - 2\)và trục hoành. Tìm công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình (H) quay quanh trục hoành. A. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\) B. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\) C. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\) D. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\sqrt x > x - 2,\forall x \in \left[ {0;4} \right] \Rightarrow x > {(x - 2)^2},\forall x \in \left[ {0;4} \right]\) Vậy: \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left( {x - {{(x - 2)}^2}} \right)dx} = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
Câu 177: Biết \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx = - a + b.{e^{ - 1}}} \) với \(a,b \in Z\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. \(a + b = 3\) B. \(a + b = 1\) C. \(a + b = - 3\) D. \(a + b = - 1\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = - \frac{1}{x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx = \left. { - \frac{{\ln x}}{x}} \right|} _1^e + \int\limits_1^e {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = \left. { - \frac{{\ln x}}{x}} \right|_1^e\left. { - \frac{1}{x}} \right|_1^e = 1 - 2{e^{ - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\end{array} \right.\) Vậy: \(a + b = - 3.\)
Câu 178: Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên R và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 2,\int\limits_1^3 {\left( {2x} \right)dx = 10} } \). Tính giá trị của \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right)dx} \). A. I=8 B. I=4 C. I=3 D. I=6 Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,t = 2\\x = 3,t = 6\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( {2x} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_2^6 {f\left( t \right)dt} = 10 \Rightarrow \int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} = 20\) Đặt: \(t = 3x \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = 0\\x = 2,t = 6\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_0^6 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt + \int\limits_2^6 {f\left( t \right)dt} } } \right]\) Suy ra: \(\frac{1}{3}\left[ {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} } \right] = \frac{1}{3}\left( { - 2 + 20} \right) = 6\)
Câu 179: Biết rằng \(\int {\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx = a\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{b}{{x + 1}} + C} \) với \(a,b \in Z\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. \(\frac{a}{{2b}} = - \frac{1}{2}\) B. \(\frac{b}{a} = 2\) C. \(\frac{{2a}}{b} = 1\) D. \(\frac{b}{a} = - 2\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}\int {\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx} = \int {\frac{{\left( {x + 1} \right) + 2}}{{{{(x + 1)}^2}}}} dx = \int {\left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \right)} = \ln \left| {x + 1} \right| - \frac{2}{{x + 1}} + C\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{2a}}{b} = - 1\end{array}\)
Câu 180: Biết \(\int\limits_0^2 {{e^{3x}}dx = \frac{{{e^a} - 1}}{b}} \) với \(a,b \in Z;b \ne 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. \(a < b\) B. \(a = b\) C. \(a + b = 10\) D. \(a = 2b\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_0^2 {{e^{3x}}dx} = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x}}} \right|_0^2 = \frac{{{e^6} - 1}}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow a = 2b.\)
