Câu 181: Kết quả nào đúng trong các phép tính sau? A. \(\int {\sin 2xdx = \cos 2x + C} \) B. \(\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\cos 2x + C} \) C. \(\int {\sin 2xdx = {{\sin }^2}x + C} \) D. \(\int {\sin 2xdx = 2{{\cos }^2}x + C} \) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {\sin 2xdx} = 2\int {\sin x.\cos xdx} \) Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos dx\) \(\int {\sin 2xdx} = 2\int {tdt} = {t^2} + C = {\sin ^2}x + C.\)
Câu 182: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với \(A\left( { - 1;2} \right),B\left( {5;5} \right),C\left( {5;0} \right),\)\(D\left( { - 1;0} \right).\) Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối nón tròn xoay tạo thành là bao nhiêu? A. \(72\pi .\) B. \(74\pi .\) C. \(76\pi .\) D. \(78\pi .\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích cần tính là thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang ABCD giới hạn bởi các đường \(y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2};\,\,y = 0;\,\,x = - 1;\,\,x = 5\) (như hình vẽ). Khi đó: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^5 {{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{2}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = 78\pi .\)
Câu 183: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = a{{\rm{x}}^3}\,\,\left( {a > 0} \right),\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = k\,\,\left( {k > 0} \right)\) bằng \(\frac{{17{\rm{a}}}}{4}.\) Tìm k. A. \(k = 1.\) B. \(k = \frac{1}{4}.\) C. \(k = \frac{1}{2}.\) D. \(k = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(S = \int\limits_{ - 1}^k {\left| {a{x^3}} \right|dx} = a\left( {\int\limits_{ - 1}^0 { - {x^3}dx} + \int\limits_0^k {{x^3}dx} } \right) = a\left( {\frac{1}{4} + \frac{{{k^4}}}{4}} \right) = \frac{{17a}}{4} \Rightarrow k = 2.\)
Câu 184: Cho \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x.\cos x.dx} \) và \(u = \sin x.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(I = \int\limits_0^1 {{u^2}du} .\) B. \(I = 2\int\limits_0^1 {udu} .\) C. \(I = - \int\limits_{ - 1}^0 {{u^2}du} .\) D. \(I = - \int\limits_0^1 {{u^2}du} .\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,u = 0\\x = \frac{\pi }{2},u = 1\end{array} \right. \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {{u^2}du.} \)
Câu 185: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{a + 1}}\ln 2.\) Tính a. A. \(a = 1.\) B. \(a = 2.\) C. \(a = 0.\) D. \(a = 4.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2{\rm{xd}}t\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\end{array}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{t}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{1}{t}} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln \left| t \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2 \Rightarrow a = 1.\end{array}\)
Câu 186: Biết \(F\left( x \right) = \left( {{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + b{\rm{x}} + c} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}.{e^x}.\) Tính a, b và c. A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = - 2\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = - 2\end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\\c = 1\end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 2\end{array} \right..\) Spoiler: Xem đáp án \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{x^2}.{e^x}d{\rm{x}}} .\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {x^2}\\d{u_1} = {e^x}d{\rm{x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2{\rm{xdx}}\\{u_1} = {e^x}\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}d{\rm{x}}} .\) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = x\\d{u_2} = {e^x}d{\rm{x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_2}{\rm{ = dx}}\\{u_2} = {e^x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2{\rm{x}}{e^x} + 2\int {{e^x}d{\rm{x}}} = {x^2}{e^x} - 2{\rm{x}}{e^x} + 2{e^x} = \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 2} \right){e^x}\) Suy ra: \( \Rightarrow a = 1,\,\,b = - 2,\,\,c = 2.\)
Câu 187: Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln {\rm{x}}}}\) và \(F\left( e \right) = 3.\) Tính \(F\left( {\frac{1}{e}} \right).\) A. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \frac{1}{3}.\) B. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 3.\) C. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln 3.\) D. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 1 - \ln 3.\) Spoiler: Xem đáp án Xét nguyên hàm: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{x\ln x}}dx} \) Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\) Khi đó: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{t}dt} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {\ln x} \right| + C\) Ta có: \(F\left( e \right) = 3 = \ln \left| {\ln e} \right| + C \Rightarrow C = 2\) Vậy: \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln \left| {\ln \left( {\frac{1}{e}} \right)} \right| + 2 = 3.\)
Câu 188: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^9}.\) A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{20}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^{10}} + C.\) B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{10}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^9} + C.\) C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{10}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^{10}} + C.\) D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{{20}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^9} + C.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^9}d{\rm{x}}} \) Đặt: \(t = 2x + 1 \Rightarrow dt = 2dx\) Ta có: \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^9}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int {{t^9}dt} = \frac{1}{{20}}{t^{10}} + C = \frac{1}{{20}}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^{10}} + C.\)
Câu 189: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là \(2\sqrt 2 \). Tính thể tích chuông? A. \(6\pi \) B. \(12\pi \) C. \(2{\pi ^3}\) D. \(16\pi \) Spoiler: Xem đáp án Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba điểm \(\left( {0;0} \right),\left( {4;2\sqrt 2 } \right),\left( {4; - 2\sqrt 2 } \right)\) nên có phương trình \(x = \frac{{{y^2}}}{2}\). Thể tích của chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng \(y = \sqrt {2 x},x = 0,x = 4\) quay quanh trục Ox. Ta có \(V = \pi \int\limits_0^4 {2xdx} = \left. {\left( {\pi {x^2}} \right)} \right|_0^4 = 16\pi \)
Câu 190: Gọi V là thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\sqrt {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}} ,\) trục Ox, đường thẳng \(x = e\) quanh trục Ox. Biết \(V = \pi \left( {a\ln 2 + b} \right),\) với \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(a - b = 1.\) B. \({a^2} + {b^2} = 4.\) C. \(a + 2b = 0.\) D. \(ab = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_1^e {\frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}d{\rm{x}}} \) Đặt \(t = \ln {\rm{x}} + 1 \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\) Vậy: \(V = \pi \int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{{{t^2}}}dt} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{2}} \right)\) Suy ra: \(a = 1;\,\,b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a + 2b = 0\)
