Câu 11: Tính tích phân: \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx.\) A. \(\frac{2}{e}\) B. -2e C. 2e D. \( - \frac{2}{e}\) Spoiler: Xem đáp án Sử dụng máy tính cầm tay suy ra kết quả, sau đó so sánh với các phương án suy ra đáp án đúng \(I = - \frac{2}{e}.\) Hoặc dùng phương pháp tích phân từng phần (Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\mathop{\rm lnx}\nolimits} \\dv = \frac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = - \frac{1}{x}\end{array} \right.\) )
Câu 12: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}},\) đường thẳng y = 2 và đường thẳng y = 8. A. 12 (đvdt) B. 16 (đvdt) C. 10 (đvdt) D. 8(đvdt) Spoiler: Xem đáp án Rút x theo y \(y = \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt y }}\\x = 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt y }}\end{array} \right.\) Do đó: \(S(H) = \int\limits_2^8 {\left| {\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt y }}} \right) - \left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt y }}} \right)} \right|} dy = 8\) (đvdt)
Câu 13: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2{x^2} + 3.\) Biết rằng F(0) = 1. Tìm F(x). A. \(F(x) = 6{x^3} + 3x + 1.\) B. , \(F(x) = 2{x^3} + 3x + 1.\) C. \(F(x) = \frac{{2{x^3}}}{3} + 3x + 1.\) D. \(F(x) = 3{x^3} + 3x + 1.\) Spoiler: Xem đáp án Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2{x^2} + 3\)nên ta có: \(F(x) = \int {(2{x^2}} + 3)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + 3x + C.\) Mà \(F(0) = 1 \Rightarrow \frac{{{{2.0}^3}}}{3} + 3.0 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1.\) Vậy \(F(x) = \frac{{2{x^3}}}{3} + 3x + 1.\)
Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3x\) A. \(\int {f(x)dx = {x^4}} + 3{x^2} + C.\) B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}} {x^4} + 3{x^2} + C.\) C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{4}} {x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + C.\) D. \(\int {f(x)dx = 3{x^2}} + 3 + C.\) Spoiler: Xem đáp án Tính nguyên hàm của hàm đã cho suy ra đáp án \(\int {({x^3} + 3x)dx} = \int {{x^3}} dx + \int {3x} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} + C.\)
Câu 15: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y = 1 - {x^2},y = {x^2} - 1\) là: A. \(S = \frac{8}{3}\) B. \(S = 4\) C. \(S = \frac{{10}}{3}\) D. \(S = 2\) Spoiler: Xem đáp án PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là \(1 - {x^2} = {x^2} - 1 \Rightarrow x = \pm 1\) Suy ra diện tích cần tính bằng \(S = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2} - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right)dx} } \right| = \frac{8}{3}.\)
Câu 16: Tìm hàm số \(F\left( x \right)\)thỏa mãn các điều kiện \(F'\left( x \right) = \frac{{2{x^3} - x}}{{\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1.\) A. \(F\left( x \right) = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} + x\) B. \(F\left( x \right) = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} - x\) C. \(F\left( x \right) = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} }}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^4} - {x^2} + 1 \Rightarrow 2tdt = \left( {4{x^3} - 2x} \right)dx\) \(F\left( x \right) = \int {\frac{{2{x^3} - x}}{{\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} }}dx = \int {dt = t + C} } \) \( \Leftrightarrow F\left( x \right) = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} + C\) Mặt khác \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 + C = 1 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} .\)
Câu 17: Gọi S là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} + 2x - 3\) và đường thẳng \(y = kx + 1\) với k là tham số thực. Tìm k để S nhỏ nhất. A. \(k = 1\) B. \(k = 2\) C. \(k = - 1\) D. \(k = - 2\) Spoiler: Xem đáp án PT hoành độ giao điểm là \({x^2} + 2x - 3 = kx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {k - 2} \right)x - 4 = 0\) Ta có \(ac = - 4 < 0\) PT trên luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = k - 2}\\{{x_1}.{x_2} = - 4}\end{array}} \right.\) Giả sử \({x_1} < {x_2} \Rightarrow S = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{x^2} - \left( {k - 2} \right)x - 4} \right)dx} } \right| = \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{k - 2}}{2}{x^2} - 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}\\{{x_1}}\end{array}} \right.} \right|\) \( = \left| {\frac{1}{3}\left( {x_2^3 - x_1^3} \right) - \frac{{k - 2}}{2}\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) - 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right| = \left| {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left| {\frac{1}{3}\left[ {x_1^2 + x_2^2 + {x_1}.{x_2}} \right]} \right| - \frac{{k - 2}}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4} \right|\) \( = \sqrt {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} \left| {\frac{1}{3}\left[ {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - {x_1}.{x_2}} \right] - \frac{{k - 2}}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4} \right| = \sqrt {{{\left( {k - 2} \right)}^2} + 16} \left| {\frac{{{{\left( {k - 2} \right)}^2}}}{6} + \frac{8}{3}} \right|\) Ta có \({\left( {k - 2} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{{\left( {k - 2} \right)}^2} + 16} \ge 4}\\{\left| {\frac{{{{\left( {k - 2} \right)}^2}}}{6} + \frac{8}{3}} \right| \ge \frac{8}{3}}\end{array} \Rightarrow S \ge \frac{{32}}{3} \Rightarrow \min S} \right. = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow {\left( {k - 2} \right)^2} = 0 \Rightarrow k = 2.\)
Câu 18: Biết hàm số \(y = f\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\) là hàm số chẵn trên \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) và \(f(x) + f(x + \frac{\pi }{2}) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{os}}x.\) Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)} dx.\) A. 0 B. 1 C. \(\frac{1}{2}\) D. -1 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = x - \frac{\pi }{2} \Rightarrow x = t + \frac{\pi }{2};dx = dt.\) Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0.\) \(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 f } (t + \frac{\pi }{2})dt = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)} dx.\\ \Rightarrow 2I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx + } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f(x) + f(x + \frac{\pi }{2})} \right]} dx\\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx)dx}}} = \left. {({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx)}}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ = (1 - 0) - (0 - 1) = 2 \Rightarrow I = 1\end{array}\)
Câu 19: Tính thể tích khối tròn được tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {x + 1} ,y = \sqrt {3 - x} ,y = 0\) quanh trục hoành. A. \(2\pi \) (đvtt) B. \(4\pi \) (đvtt) C. \(\frac{3}{2}\pi \) (đvtt) D. \(\frac{\pi }{2}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(\sqrt {x + 1} = \sqrt {3 - x} \Leftrightarrow x = 1\) \(\sqrt {x + 1} = 0 \Leftrightarrow x = - 1;\,\,\,\,\,\,\sqrt {3 - x} = 0 \Leftrightarrow x = 3\) Dựa vào đồ thị, ta thấy thể tích của vật thể là: \(\begin{array}{l}V = \pi {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)} ^2}dx + \pi {\int\limits_1^3 {\left( {\sqrt {3 - x} } \right)} ^2}dx\\ = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)} dx + \pi \int\limits_1^3 {\left( {3 - x} \right)} dx\\ = \left. {\frac{{\pi {{(x + 1)}^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^1\left. { - \frac{{\pi {{(3 - x)}^2}}}{2}} \right|_1^3 = 4\pi \end{array}\)
Câu 20: Tính tích phân: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\cos x}}.\sin xdx} \) A. 1- e B. e - 1 C. e + 1 D. -e – 1. Spoiler: Xem đáp án Sử dụng máy tính cầm tay ta được kết quả, sau đó so sánh với các phương án suy ra đáp án đúng của bài toán. Hoặc dùng phương pháp đổi biến t=cosx suy ra kết quả.
