Câu 191: Cho \(\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^4}}}d{\rm{x}}} = - \frac{1}{a}\left( {b\sqrt 2 - c} \right)\) trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Tính \(S = a + b + c.\) A. \(S = 13.\) B. \(S = 12.\) C. \(S = 21.\) D. \(S = 6.\) Spoiler: Xem đáp án \(\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^4}}}d{\rm{x}}} = \int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{{x^3}}}d{\rm{x}}} \) Đặt: \(t = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \Rightarrow {t^2} = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow 2tdt = - \frac{2}{{{x^3}}}\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\) Vậy: \(\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^4}}}d{\rm{x}}} = - \int\limits_2^{\sqrt 2 } {{t^2}dt} = - \frac{1}{3}\left( {2\sqrt 2 - 8} \right) \Rightarrow S = a + b + c = 13.\)
Câu 192: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^x}\), trục Ox và đường thẳng \(x = 2.\) A. \(e.\) B. \(2{{\rm{e}}^2} - e.\) C. \(2{{\rm{e}}^2}.\) D. \({{\rm{e}}^2}.\) Spoiler: Xem đáp án PT hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^x}\) và trục Ox là: \(\left( {x - 1} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: \(\int\limits_1^2 {\left| {\left( {x - 1} \right){e^x}} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right){e^x}d{\rm{x}}} = e.\)
Câu 193: Cho \(\int {\frac{x}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}d{\rm{x}}} = a.\ln \left| {x + 2} \right| + \frac{b}{{x + 2}} + C,\) trong đó a, b là các số nguyên. Tính \({a^2} + {b^2}.\) A. \({a^2} + {b^2} = 5.\) B. \({a^2} + {b^2} = 3.\) C. \({a^2} + {b^2} = 2.\) D. \({a^2} + {b^2} = 7.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}\int {\frac{x}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + x}}d{\rm{x}}} = \int {\left[ {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]d{\rm{x}}} = \ln \left| {x + 2} \right| + \frac{2}{{x + 2}} + C.\\ \Rightarrow a = 1,\,\,b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5.\end{array}\)
Câu 194: Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} = 1\) và \(\int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 3.\) Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} .\) A. \(\frac{1}{2}.\) B. \(\frac{{13}}{2}.\) C. \(\frac{{11}}{2}.\) D. \(\frac{7}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét tích phân: \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} \) Đặt \(v = 2u \Rightarrow dv = 2du;\,\,u = 0 \Rightarrow v = 0;u = 1 \Rightarrow v = 2\) Vậy: \({I_1} = \int\limits_0^1 {f\left( {2u} \right)du} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f(v)dv} = 1 \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(v)dv} = \int\limits_0^2 {f(x)dx} = 2\) Xét tích phân: \({I_2} = \int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 3\) Đặt: \(v = \frac{t}{2} \Rightarrow dv = \frac{1}{2}dt;\,\,t = 2 \Rightarrow v = 1;t = 4 \Rightarrow v = 2\) Vậy: \({I_2} = \int\limits_2^4 {f\left( {\frac{t}{2}} \right)dt} = 2\int\limits_1^2 {f(v)dv} = 3 \Rightarrow \int\limits_1^2 {f(v)dv} = \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{3}{2}\) Ta có: \(\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f(x)dx} = \int\limits_0^1 {f(x)dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f(x)dx} = \int\limits_0^2 {f(x)dx} - \int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{1}{2}.\end{array}\)
Câu 195: Nếu F(x) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = 2x + 1\) và F(2) = 2 thì F(x) là hàm số nào sau đây? A. \(F(x) = - {x^2} + x - 1\). B. \(F(x) = {x^2} + x - 2\) . C. \(F(x) = {x^2} + x - 3\). D. \(F(x) = {x^2} + x - 4\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {f(x)dx} = {x^2} + x + C\) Khi đó, để \(F\left( 2 \right) = 2\) điều kiện là: \(2 = 4 + 2 + C \Leftrightarrow C = - 4 \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2} + x - 4\), ứng với đáp án D.
Câu 196: Biết tích phân \(\int\limits_a^b {\frac{1}{x}dx = 2} \) , (trong đó a, b là các hằng số dương). Tính tích phân \(I = \int\limits_{{e^a}}^{{e^b}} {\frac{1}{{x\ln x}}} dx\) A. \(I = \ln 2\) B. \(I = 2\) C. \(I = \frac{1}{{\ln 2}}\) D. \(I = \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {e^a},t = a}\\{x = {e^b},t = b}\end{array}} \right. \Rightarrow I = \int\limits_a^b {\frac{1}{t}dt} = \int\limits_a^b {\frac{1}{x}dx} = 2.\)
Câu 197: Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x.\cos 2xdx} = a + b\pi ,\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\) A. \(S = 0\) B. \(S = 1\) C. \(S = \frac{1}{2}\) D. \(S = \frac{3}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \cos 2xdx}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = \frac{1}{2}\sin 2x}\end{array}} \right.} \right.\) \( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x.\cos 2xdx = \frac{1}{2}x\sin x2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} } \) \( = \frac{1}{2}x\sin 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array}} \right. + \frac{1}{4}\cos 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{4}}\\0\end{array} = - \frac{1}{4}} \right. + \frac{1}{8}\pi \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{1}{4}}\\{b = \frac{1}{8}}\end{array} \Rightarrow S = a + 2b = 0} \right.\)
Câu 198: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) như hình vẽ bên. Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)} dx\). A. \(I = \frac{5}{2}\) B. \(I = \frac{{11}}{2}\) C. \(I = 5\) D. \(I = 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)} dx = \left( {\frac{{4 + 2}}{2}.1} \right) - \left( {\frac{{1 + 2}}{2}.1} \right) = \frac{5}{2}\) (bằng diện tích hình thang trên trục hoành trừ diện tích hình thang phía dưới trục hoành).
Câu 199: Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ { - 1;- 2} \right]\). Biết \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx = 1\) và \(F\left( { - 1} \right) = - 1\). Tính F(2). A. \(F\left( 2 \right) = 2\) B. \(F\left( 2 \right) = 0\) C. \(F\left( 2 \right) = 3\) D. \(F\left( 2 \right) = 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx = F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right) = 1 \Rightarrow F\left( 2 \right) = 1 + F\left( { - 1} \right) = 0.\)
Câu 200: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{2}.\) A. \(\int {f\left( x \right)} dx = \frac{{{e^{2x - 1}}}}{4} + C\) B. \(\int {f\left( x \right)} dx = {e^{2x}} + C\) C. \(\int {f\left( x \right)} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{4} + C\) D. \(\int {f\left( x \right)} dx = {e^{2x + 1}} + C\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} dx = \frac{{{e^{2x}}}}{4} + C.\) \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)
