Câu 201: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {a;\sqrt a } \right)\), với \(a > 0\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a. A. \(a = 9\) B. \(a = 4\) C. \(a = \frac{1}{2}\) D. \(a = 3\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích (H) bằng \(S = \sqrt a \left( {a + 1} \right)\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0,x = 0,x = a\) bằng \({S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} \) Vì \({S_1} = \frac{1}{2}S \Rightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} = \frac{1}{2}\sqrt a \left( {a + 1} \right) \Rightarrow a = 3\)
Câu 202: Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao cho bốn cạnh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quay trục Ox. A. \(\frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}\) B. \(\frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}\) C. \(\frac{\pi }{6}{a^3}\) D. \(\frac{\pi }{8}{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính. Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được tô màu trong hình bên quanh trục hoành. Khi đó \(V = 2{V_1}\) Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{a}{4}} \right)}^2}} dx - \pi \int\limits_{\frac{a}{4}}^{\frac{a}{2}} {{{\left( {2x - \frac{a}{2}} \right)}^2}} dx = \frac{{5\pi }}{{96}}{a^3}\) Suy ra \(V = 2{V_1} = \frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}\) .
Câu 203: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3.\) Tính \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {2{\rm{x}}} \right|} \right)d{\rm{x}}} .\) A. 3 B. 6 C. \(\frac{3}{2}.\) D. 0 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} .\) \(t = - 2{\rm{x}} \Rightarrow dt = - 2{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1,t = 2\\x = 0,t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} = - \frac{1}{2}\int\limits_2^0 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) \(t = 2{\rm{x}} \Rightarrow dt = 2{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,t = 2\\x = 0,t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} + \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3.\)
Câu 204: Tính \(\int {\frac{1}{{4 - 2x}}d{\rm{x}}} .\) A. \( - 2\ln \left| {4 - 2{\rm{x}}} \right| + C.\) B. \(\frac{1}{2}\ln \left| {4 - 2{\rm{x}}} \right| + C.\) C. \(\ln \left| {4 - 2{\rm{x}}} \right| + C.\) D. \( - \frac{1}{2}\ln \left| {x - 2} \right| + C.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\int {\frac{1}{{4 - 2{\rm{x}}}}d{\rm{x}}} = \int {\frac{1}{{ - 2{\rm{x + 4}}}}d{\rm{x}}} = - \frac{1}{2}\ln \left| {4 - 2x} \right| + C = - \frac{1}{2}\ln \left| {x - 2} \right| + C.\)
Câu 205: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \({f'}\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;6} \right]\) như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right).\) B. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).\) C. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right).\) D. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) ta lập được bảng biến thiên như sau: Vậy hàm số chỉ có thể đạt giá trị lớn nhất tại x=-1 hoặc x=6. Ta có: \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( { - 1} \right) - f\left( 2 \right) = {S_1} \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = {S_1} + f\left( 2 \right)\) \({S_2} = \int\limits_2^6 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_2^6 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = f\left( 6 \right) - f\left( 2 \right) = {S_2} \Rightarrow f\left( 6 \right) = {S_2} + f\left( 2 \right).\) Dựa vào hình vẽ ta thấy \({S_2} > {S_1} \Rightarrow f\left( 6 \right) > f\left( { - 1} \right).\) Vậy: \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right).\)
Câu 206: Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3m. Chiều cao \(SO = 6m\) (SO vuông góc với mặt đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi \({c_1},{c_2},{c_3},{c_4},{c_5},{c_6}\) nằm trên các parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO và một lục giác đều và khi (P) đi qua trung điểm của SO thì lục giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích không gian bên trong cái lều (H) đó. A. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\) B. \(\frac{{96\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\) C. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{m^3}} \right).\) D. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{8}\,\,\left( {{m^3}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình của parapol có dang: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A(0;6), B(1;3), C(3;0) nên có phương trình là: \(y = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6\) Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện lục giác là BM. Đặt t=Om thì ta có: \(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 6 = t \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} = 2t + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} \pm \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \) \( \Rightarrow BM = \frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} \) Khi đó, diện tích của thiết diện lục giác bằng: \(S(t) = 6.\frac{{B{M^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)^2}\) với \(t \in \left[ {0;6} \right].\) Vậy thể tích túp liều là: \(V = \int\limits_0^6 {S(t)dt} = \int\limits_0^6 {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}{{\left( {\frac{7}{2} - \sqrt {2t + \frac{1}{4}} } \right)}^2}dt} = \frac{{135\sqrt 3 }}{8}.\)
Câu 207: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 4{\rm{x}} + 3\) và trục Ox. A. \(\frac{8}{3}.\) B. \(\frac{4}{3}\pi .\) C. \(\frac{4}{3}.\) D. \(\frac{8}{3}\pi .\) Spoiler: Xem đáp án PT hoành độ giao điểm các đồ thị là \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\) Ta có: \(x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 < 0\) Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} = \frac{4}{3}.\)
Câu 208: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2017}}}}{{{x^{2019}}}}dx} .\) A. \(\frac{{{3^{2018}} - {2^{2018}}}}{{2018}}.\) B. \(\frac{{{3^{2018}} - {2^{2018}}}}{{4036}}.\) C. \(\frac{{{3^{2017}}}}{{4034}} - \frac{{{2^{2018}}}}{{2017}}.\) D. \(\frac{{{3^{2020}} - {2^{2020}}}}{{4040}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2017}}}}{{{x^{2019}}}}} dx = \int\limits_1^2 {{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}^{2017}}.\frac{1}{{{x^2}}}} dx.\) Đặt \(t = 1 + \frac{2}{x} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{{t - 1}} \Rightarrow d{\rm{x}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}dt\\{x^2} = \frac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 3\\x = 2 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\) Suy ra \(I = - \int\limits_3^2 {\frac{{{t^{2017}}.2{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{4{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_2^3 {{t^{2017}}dt} = \left. {\frac{{{t^{2018}}}}{{4036}}} \right|_2^3 = \frac{{{3^{2018}} - {2^{2018}}}}{{4036}}.\)
Câu 209: Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox, hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) quanh trục Ox. A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\) B. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\) C. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\) D. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}.} \)
Câu 210: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: Parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 2\), tiếp tuyến của (P) tại \(M\left( {3;5} \right)\) và trục Oy. Tính diện tích của hình (H). A. 18 (đvdt) B. 9 (đvdt) C. 15(đvdt) D. 12(đvdt) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(\Delta \) là PTTT của (P) tại \(M\left( {3;5} \right)\)\( \Rightarrow \Delta :y = 4x - 7\) Suy ra diện tích hình (H) bằng \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x + 2 - 4x + 7} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)} dx = 9\) (đvdt)
